沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第1课时教学设计

这是一份沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第1课时教学设计，共7页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。

第1课时 矩形的定义与性质
教学目标
1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系.
2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法.
3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.
教学重难点
重点：探索并证明矩形的性质定理.
难点：应用矩形的性质定理解决相关问题.
教学过程
导入新课
1.复习回顾
平行四边形的定义，平行四边形的性质.
2.活动
观察下列图片，找出你所熟悉的图形.

问题1 在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
问题2 请同学们观察，图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？
教师适时归纳总结，同学们观察的很仔细，这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫做矩形.
同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.
探究新知
一、预习新知
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题 改变平行四边形活动框架，将框架夹角变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形.
二、合作探究
教师为了加深学生的理解，也为了继续研究矩形的性质，让大家拿出制作好的教具一起探究.
探究活动一 矩形四角的大小关系
问题 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.矩形是否具有它独特的性质呢？
【学生活动】测量一个矩形的四个角，发现四个角的度数分别是多少度.
【教师总结】矩形的四个角都是直角.
学生写出证明过程.
已知：矩形ABCD，如图.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D.
证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°.
∵ AB∥DC, AD∥BC,
∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）.
即矩形ABCD的四个角都是直角.
探究活动二 对角线的数量关系
【师生活动】用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系.
【教师总结】矩形的两条对角线相等.
【学生活动】分析已知和求证，小组讨论证明过程，由一名学生口述证明过程.
已知：矩形ABCD，如图：
求证：AC=BD.
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC， ∠ABC=∠DCBBC=CB， ,
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）,
∴ AC=BD.
探究活动三 直角三角形中斜边上的中线与斜边的数量关系
如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
观察、思考后发现AO＝12AC，BO＝12BD，BO是Rt△ABC的中线.
【教师总结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例题讲解
【例】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长.
【解】∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，∴ OA＝OB.
又∠AOB＝120°，
∴ ∠OAB＝∠OBA＝180°−120°2=30°.
在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm.
∴ 矩形的对角线长为8 cm.
跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、点F分别在AO、DO上，且∠EBO＝∠FCO．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若∠EBO＝∠ACB＝30°，BC＝，求△BEO的面积．
【教师活动】（1）欲证明OE＝OF，只要证明△EBO≌△FCO即可；
（2）利用等腰三角形的性质得∠OBC＝30°，由三角形的内角和定理得∠BEO＝90°，再由直角三角形30°角的性质和三角形面积公式即可解决问题．
【学生活动】根据老师的分析，先小组交流证题思路，再独立完成证明过程，最后小组交流，纠正错误.
（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OB＝BD，OC＝AC，且AC＝BD，
∴ OB＝OC.
在△EBO和△FCO中，
∵
∴ △EBO≌△FCO（ASA），
∴ OE＝OF.
（2）解：∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB.
∵∠EBO＝∠ACB＝30°，
∴ ∠OBC＝30°，
∴ ∠BEC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°.
∵ BC＝23，
∴ BE＝BC＝3.
在Rt△BEO中，∵ ∠EBO＝30°，
∴ OE＝1，
∴ △BEO的面积＝12BE·OE=12×3×1=32.
课堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
3.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝.

4.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明.
5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．
参考答案
1.C
2.D
3.10 10
4.解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）.
选择BE＝DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴ ∠ABE＝∠CDF.
∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF（SAS）.
∴ AE＝CF.
5.（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴ ∠AEB＝∠DAF.
∵ DF⊥AE，
∴ ∠AFD＝90°＝∠B.
∵ DF＝DC，
∴ AB＝DF.
在△ABE和△DFA中，∠AEB=∠DAF,∠B=∠AFD, AB=DF,
∴ △ABE≌△DFA（AAS），
∴ AE＝AD，
∴ AE＝BC.
（2）解：由（1）得△ABE≌△DFA，
∴ BE＝AF＝4，AE＝BC.
∵ ∠B＝90°，
∴ AE＝AB2+BE2＝32+42＝5，
∴ BC＝5，
∴ EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．
课堂小结
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：
（1）边：对边平行且相等.
（2）角：四个角都是直角.
（3）对角线：对角线互相平分且相等.
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.矩形性质的应用，将矩形的问题转化为三角形的问题.
布置作业
教材第88页练习.
板书设计
第1课时 矩形的定义与性质
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质定理：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
3.直角三角形：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.