高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示一课一练

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知识点01：函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，如果给定了一个 SKIPIF 1 < 0 值，相应地就有唯一确定的一个 SKIPIF 1 < 0 值与之对应，那么我们就称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是自变量， SKIPIF 1 < 0 是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.
2、函数的近代定义
一般地，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非空的实数集，如果对于集合 SKIPIF 1 < 0 中的任意一个数 SKIPIF 1 < 0 ，按照某种确定的对应关系 SKIPIF 1 < 0 ，在集合 SKIPIF 1 < 0 中都有唯一确定的数 SKIPIF 1 < 0 和它对应，那么就称 SKIPIF 1 < 0 为从集合 SKIPIF 1 < 0 到集合 SKIPIF 1 < 0 的一个函数(functin)，记作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .其中， SKIPIF 1 < 0 叫做自变量， SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 叫做函数的定义域；与 SKIPIF 1 < 0 的值相对应的 SKIPIF 1 < 0 值叫做函数值，函数值的集合 SKIPIF 1 < 0 叫做函数的值域．显然，值域是集合 SKIPIF 1 < 0 的子集.
函数的四个特征：
①非空性： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
【即学即练1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量 SKIPIF 1 < 0 ，有唯一的 SKIPIF 1 < 0 值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
知识点02：函数的三要素
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系 SKIPIF 1 < 0 是函数的核心，它是对自变量 SKIPIF 1 < 0 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与 SKIPIF 1 < 0 的值相对应的 SKIPIF 1 < 0 值叫做函数值，函数值的集合 SKIPIF 1 < 0 叫做函数的值域(range).
【即学即练2】（2023·上海普陀·统考二模）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以定义域为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
知识点03：函数相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对选项A，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 定义域为R，定义域相同，
但 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，故A错误；
对选项B，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
定义域不同，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，故B错误；
对选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
定义域不同，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，故C错误；
对选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 定义域为R，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是同一函数，故D正确.
故选：D
知识点04：区间的概念
1区间的概念
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 的全体，叫做闭区间，
记作 SKIPIF 1 < 0 ，即， SKIPIF 1 < 0 。如图： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
2含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为 SKIPIF 1 < 0 ，符号“ SKIPIF 1 < 0 ”读作“正无穷大”，“ SKIPIF 1 < 0 ”读作“负无穷大”，即 SKIPIF 1 < 0 。
【即学即练4】（2023秋·广东广州·高一西关培英中学校考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：因为集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
题型01 函数关系的判断
【典例1】（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】选项A中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.
故选：B.
【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列对应关系中，从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的函数为（ ）
A．f： SKIPIF 1 < 0 B．f： SKIPIF 1 < 0
C．f： SKIPIF 1 < 0 D．f： SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：对A：当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 为0,1,2，所以选项A不能构成函数；
对B：当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 为0,1,4，所以选项B不能构成函数；
对C：当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 为0,2,4，所以选项C不能构成函数；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ,1,3，所以选项D能构成函数；
故选：D.
【变式1】（多选）（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，其中y为不大于x的最大整数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】对于A，对集合 SKIPIF 1 < 0 中的每个元素x，按照 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中都有唯一元素y与之对应，A是；
对于B，在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在元素x，按照 SKIPIF 1 < 0 ，在R中有两个y值与这对应，如 SKIPIF 1 < 0 ，与之对应的 SKIPIF 1 < 0 ，B不是；
对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，按照 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中不存在元素与之对应，D不是.
故选：AC
题型02 集合与区间的转化
【典例1】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知全集 SKIPIF 1 < 0 ,集合 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B
【典例2】（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由集合交集运算可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由A中不等式 SKIPIF 1 < 0 变形得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 中不等式 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又全集 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选： SKIPIF 1 < 0 .
题型03同一个函数
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于A中，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于B中，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于C中，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；
对于D中，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.
故选：C
【典例2】（都选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下面各组函数表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义域和对应法则相同，故为同一函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义域和对应法则相同，故为同一函数；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，故不为同一函数；
故选:BC
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为{ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 }，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
题型04 求函数值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】4
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为：4.
【典例2】（2023·高一课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝______．
【答案】3
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3
【变式1】（2023·高一课时练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【变式2】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）计算： SKIPIF 1 < 0 ____________；
（2）计算： SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0 /3.5
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0 .
题型05根据函数值请求自变量或参数
【典例1】（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则此函数的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例2】（多选）（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则区间 SKIPIF 1 < 0 可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故要定义域 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意的选项是：BC.
故选：BC.
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，画出图像，如图所示，

令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D．
题型06函数的定义域（具体函数的定义域）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数的定义域为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
题型07函数的定义域（抽象函数的定义域）
【典例1】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则要使函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题型08 函数的定义域（复合函数的定义域）
【典例1】（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ）的定义域为
SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A．（ SKIPIF 1 < 0 ，4）B．[ SKIPIF 1 < 0 ，4）
C．（ SKIPIF 1 < 0 ，6）D．（ SKIPIF 1 < 0 ，2）
【答案】C
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，取交集得 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解法1：由函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型09 函数的定义域（实际问题中的定义域）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，底边长 SKIPIF 1 < 0 是腰长 SKIPIF 1 < 0 的函数，则函数的定义域为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题设有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【典例2】（2022·高一课时练习）周长为定值 SKIPIF 1 < 0 的矩形，它的面积 SKIPIF 1 < 0 是这个矩形的一边长 SKIPIF 1 < 0 的函数，则这个函数的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故这个函数的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式1】（2022秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为 SKIPIF 1 < 0 （单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设矩形另一边的长为 SKIPIF 1 < 0 m，
由三角形相似得： SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以矩形草坪的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域）
【典例1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例2】（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ；
(4) SKIPIF 1 < 0 ；
(5) SKIPIF 1 < 0 ；
(6) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
列表如下：
作出图象如图：
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
列表如下：
作出图象如图：
.
（3） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
列表如下：
作出图象如图：
由图知：值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（4） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
列表如下：
作出图象如图：
由图知：值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向下的抛物线，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
列表如下：
作出图象如图：
（6） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
SKIPIF 1 < 0 ，所以值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
列表如下：
作出图象如图：
【变式1】例题3．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列函数的值域.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减, SKIPIF 1 < 0 单调递增,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
题型11函数的值域（根式型函数的值域）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以该函数在 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·高一课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型12函数的值域（分式型函数的值域）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数y SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ）∪（ SKIPIF 1 < 0 ，+∞）
C．（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ）∪（ SKIPIF 1 < 0 ，+∞）D．（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ）∪（ SKIPIF 1 < 0 ，+∞）
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
∴y SKIPIF 1 < 0 ，
∴该函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【典例2】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故函数值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由解析式知：函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即该方程在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴综上，有函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得方程： SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
不等式整理得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型13根据函数的值域求定义域
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，画出图像，如图所示，

令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D．
【典例2】（多选）（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则其定义域可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故AD正确，BC错.
故选：AD.
【变式1】（多选）（2022秋·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校联考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则区间 SKIPIF 1 < 0 可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故要定义域 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意的选项是：BC.
故选：BC.
题型14重点方法之换元法求值域
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
【典例2】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数值域为 SKIPIF 1 < 0 .
题型15重点方法之分离常数法求值域
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得其定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型16数学思想方法（数形结合的思想方法）
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，画出图像，如图所示，

令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，结合图像，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D．
【典例2】（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则其值域为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 图像可由 SKIPIF 1 < 0 图像向右平移一个单位得到，
如图所示:
SKIPIF 1 < 0 ，
结合图像可知，函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
题型17易错题（换元必换范围）
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的值域： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 （换元），则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3.1.1函数的概念
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．3B．5C．7
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2．（2023·高一课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的自变量需满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．（2023·高一课时练习）下列各函数中，与函数 SKIPIF 1 < 0 表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
对于A， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且解析式与 SKIPIF 1 < 0 相同，故为同一个函数，
对于B, SKIPIF 1 < 0 ，故不是同一个函数，
对于C, SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 对定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，不是同一个函数，
对于D, SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 对定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
4．（2023·高一课时练习）已知高斯取整函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】取整函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2023·高一课时练习）下表给出了x与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对应关系，根据表格可知 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由表中数据可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
7．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A．[-4，1]B．[-3，1]C．[-3，1）D．[-4，1）
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
二、多选题
9．（2023·高一课时练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结果正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故BD选项正确，AC选项错误.
故选：BD
10．（2023·全国·高一专题练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{ SKIPIF 1 < 0 1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】解：在A中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
在B中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
在C中，任取 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
在D中，任取 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：CD．
三、填空题
11．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）设二次函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，且与 SKIPIF 1 < 0 轴有且只有一个交点时，其值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴由基本不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为A，集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）要使函数 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以集合 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为[1，3]，求 SKIPIF 1 < 0 的值
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，当 SKIPIF 1 < 0 符合题意，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为开口方向向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的二次函数
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
原函数化为 SKIPIF 1 < 0 ，
该函数在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为高斯函数．例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 的定值；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
(3)2022
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，是定值；
（3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值等于所有不超过正整数 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 互素的正整数的个数，例如， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为与 SKIPIF 1 < 0 互素且不超过 SKIPIF 1 < 0 的正整数为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，若同时满足下列条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 函数”.下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 函数”，则其图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“ SKIPIF 1 < 0 函数”
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“ SKIPIF 1 < 0 函数”（ SKIPIF 1 < 0 表示不大于 SKIPIF 1 < 0 的最大整数）
D．若 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 函数”，则 SKIPIF 1 < 0 一定是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数
【答案】AC
【详解】对于A：不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
这与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 矛盾，故B错误；
对于C：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为整数部分， SKIPIF 1 < 0 为小数部分，则 SKIPIF 1 < 0 ；
再令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为整数部分， SKIPIF 1 < 0 为小数部分，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确；
对于D：由题意可知，常函数 SKIPIF 1 < 0 为“H函数”，但 SKIPIF 1 < 0 不是增函数，故D错误.
故选：AC.
3．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1)1；
(2)1.
【详解】（1）因为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
则令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
则令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 为“同域函数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（Ⅲ）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为“同域函数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是“同域函数”.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为“同域函数”.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅲ）设 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 不是“同域函数”.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 为“同域函数”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 为“同域函数”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
此时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 不成立.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
课程标准
学习目标
①函数的概念；
②了解函数的三要素；
③掌握简单函数的定义域；
④掌握求函数的值；
⑤掌握区间的写法.
通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.
集合
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
区间
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
集合
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
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区间
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SKIPIF 1 < 0
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