陕西省榆林市苏州中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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八年级数学试卷
考试时间：120分钟总分：120分
一、选择题(每题3分，共24分)
1. 若，则下列式子正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，∴，故正确；
D．∵，∴，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2. 把不等式x+2>4的解集表示在数轴上，正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：移项得，x＞4-2，
合并同类项得，x＞2，
把解集画在数轴上，如图示：
故选：B．
3. 下列命题错误的是（ ）
A. 等腰三角形两腰上的中线相等B. 等腰三角形的中线与高重合
C. 等腰三角形两腰上的高相等D. 等腰三角形两底角平分线相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等腰三角形两腰、两底角相等，底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
【详解】解：如图1，在中，，、分别是、边上的中线，
则可知，且，
在和中
，
，
所以等腰三角形两腰上的中线相等，
故A正确，不符合题意；
等腰三角形有底边上的中线、高和顶角的角平分线互相重合，故B错误，符合题意；
如图2，在中，，、分别是边上的高，
可得，
、分别是边上的高，
，
在和中
，
，
所以等腰三角形两腰上的高相等，
故C正确，不符合题意；
如图3，中，，、分别平分和，
则可知，
在和中
，
，
所以等腰三角形两底角平分线相等，
故D正确，不符合题意；
故选：B
4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三边的中垂线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭位置应选在三条角平分线的交点，
故选B．
5. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据系数化为1时不等号的方向发生改变列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
∴．
故选B．
6. 已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，则线段的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等角对等边．根据角平分线定义得出，，根据平行线的性质得出，，根据等角对等边得出，，根据求出结果即可．
【详解】解：∵在中，和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
故选：A．
7. 如图，，，于D，，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得．
【详解】解：如图所示，过点P作于E，
∵
∴，；
∵，
∴，
∴中，，
∴，
故选：D．
8. 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论共有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线可得，由，可得，，，则，，，可求，即，可判断③的正误；由，，可得，可判断②的正误；如图，作于，可得，进而可判断①的正误；证明，则，，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴，即，③正确，故符合要求；
∴，即是等腰三角形，
又∵，
∴，②正确，故符合要求；
如图，作于，
∵是的角平分线，是的角平分线，，，，
∴，①正确，故符合要求；
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，④正确，故符合要求；
∵是等腰三角形，，
∴由题意知，，⑤错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题(每题3分，共18分)
9. 用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：_____．
【答案】x-5≤2x
【解析】
【详解】差不大于x的2倍：应最后算差，不大于的意思是小于或等于，据此列出不等式．
解：根据题意，得x-5≤2x；
故答案为x-5≤2x．
“点睛”读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
10. 命题“若，则”的逆命题是_________．
【答案】若，则
【解析】
【分析】本题考查了命题的逆命题．熟练掌握逆命题与命题的关系是解题的关键．
根据逆命题的定义进行作答即可．
【详解】解：由题意知，命题“若，则”的逆命题是若，则，
故答案为：若，则．
11. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为______．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】根据图象直接解答即可．
【详解】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x＞1时，函数y=x+b值大于y=ax+3的函数值，
故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．
12. 中，，，．则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】只需要证明是等边三角形，得到即可得到答案．
【详解】解：∵中，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键．
13. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可．
【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形；
如果等腰三角形三边长分别是、、，，能构成三角形；
那么这时三角形的第三边长为．
所以，这个等腰三角形的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答．
14. 如图，等边的边长为13，是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点，若，的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，与交于点M，作于点F，证明垂直平分，得出，说明，从而得出最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当点B、M、E在同一直线上时，最小，则最小，即最小值为的长，根据勾股定理求出其最小值即可．
【详解】解：连接，与交于点M，作于点F，如图所示：

为等边三角形，是边上的中线，
，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当点B、M、E在同一直线上时，最小，则最小，即最小值为的长，
等边的边长为13，，
，
∴，
，
，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．
三、解答题(共78分)
15. 解不等式(组)：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式：
（1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可得到答案；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案；
（3）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：
移项得：，
合并同类项得：；
【小问2详解】
解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问3详解】
解：
去分母得：，
移项得；，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问4详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得： ，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
16. 如图，校园有两条路，在交叉路口附近有两块宣传我市创建国家级卫生城市的牌C、D，学校准备再在这里安装一个宣传栏，宣传创建国家级卫生城市的相关知识，要求宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出柱子的位置P．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图， 角平分线的性质和尺规作图，宣传栏柱子的位置P离两块宣传牌一样远，则点P在作线段的垂直平分线，宣传栏柱子的位置P到两条路的距离也一样远，则点P在的角平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置．
17. 解不等式，用数轴表示其解集，并写出所有的负整数解．
【答案】，数轴表示见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，再数轴上表示不等式的解集，求不等式的整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，接着在数轴上表示出不等式的解集，进而求出其负整数解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下：
∴不等式的负整数解为．
18. 如图，在中，平分，点D是的中点， 于点E，于点F．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
由角平分线的性质可得，证明，则，，进而结论得证．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，垂足为D．若的周长为，的周长为，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出，，据此求出，则．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，为等边三角形，平分交于点，且交于点．
（1）求证：为等边三角形；
（2）求证：为的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质：
（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
【小问2详解】
∵为等边三角形，
∴．
∵平分，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴，
即为的中点．
21. 已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，求得用表示的、，根据方程组的解满足不等式可得关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
①②，得：，即，
将代入①，得：，
解得：，
方程组的解为，
方程组的解满足不等式，
，
解得：．
故的取值范围是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法和解不等式的基本步骤是解题的关键．
22. 一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
【答案】至少要答对15题
【解析】
【分析】设答对题，那么答错或者不答的有题，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：设答对题，那么答错或者不答的有题，
由题意得：，
解得：，
答：至少要答对15题．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，理解题意，列出不等式是解题的关键．
23. 某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费．
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【答案】（1），
（2）学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；（为整数）时，乙旅行社更优惠；（为整数）时，甲旅行社更优惠
【解析】
【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费与学生人数的关系式即可；
（2）分别利用y甲＝y乙、y甲＞y乙、y甲＜y乙得出x的取值范围，得出答案即可．
【小问1详解】
由题意，得
，
．
【小问2详解】
①当时，
，
解得，
当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
②当时，
，
解得；
当（为整数）时，乙旅行社更优惠；
③当时，
，
解得．
当（为整数）时，甲旅行社更优惠．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．
24. 如图1，点是的平分线上的一点，点、分别在的两边、上，若．
（1）请直接写出、之间的数量关系________；
（2）如图2，若，，求四边形的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，的面积是否有最大值？若有请求出面积的最大值，若没有请说明理由．
【答案】（1）
（2）四边形的面积为；
（3）的面积有最大值，最大值为．
【解析】
【分析】（1）作，，等角的补角相等求得，由角平分线的性质求得，利用证明，即可证明；
（2）作，，由（1）得，再证明，推出四边形的面积，再根据直角三角形的性质结合勾股定理，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）求得，设，则，求得，作于点，求得，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：；
作，，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点是的平分线上的一点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：作，，垂足分别为，
由（1）得，则，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形的面积；
【小问3详解】
解：的面积有最大值，最大值为．
由（2）得，，
∴，，
设，则，
∴，
作于点，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
最大值为．
【点睛】本题考查了解平分线的性质，直角三角形的性质，二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，第3问利用二次函数的性质求解是解题的关键．