数学第五章 特殊平行四边形5.3 正方形第2课时综合训练题

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A组 基础训练
1．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
3．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC和CD边上的中点，则△AEF的面积为（ ）
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D．
4.如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A． 45° B． 60° C． 70° D． 75°
5.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A. 8 B. 8 C. 2 D. 10
6. 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D. 2
7.已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=_________．
8．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F. 若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________ m.
9. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_________.
如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有_________ . （填序号）
11.如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是AB,AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
（1）求证：AE＝CF.
（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.
B组 自主提高
13.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半． 这样的图形有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
14．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.
参考答案
1—5. CBBCD 6. A
7. 45°
8. 4600
9. 13
10. ①②④
11. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°.
∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=
∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BE=AF．
12.（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF.
（2）解：四边形DEGF是菱形.
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.
13. C
14. 解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF.
（2）AE⊥DF. 设AE与DF相交于点H.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
DE=CE，∴△ADE≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE⊥DF.
∵∠ADE=90°，AE⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5.
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE. ∴CE=CM，又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE=CD=BC，∴CM=CB，即M为BC中点，∴BM=MC.