第5章 特殊平行四边形专项训练：角度计算1(含答案)

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角度计算专项训练（1）夯实基础，稳扎稳打1．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°．当AM与CB平行时，求∠MAC的度数．2. 如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，求∠BDF的度数3. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，求∠ADC的度数．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，求∠C的度数5．如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED=40°，求∠BCF的度数．6．如图，ABCD为一长方形纸带，AD∥CB，将长方形ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与G，H对应，若∠1＝4∠2，求∠AEF的度数．连续递推，豁然开朗 7、如右图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F是BA延长线上一点，AF=AB，△ABE可以通过绕A点逆时针旋转到△ADF的位置，求旋转的最小角度。8．【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．（1）【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝　 ，∠3＝　 　．（2）【猜想验证】由（1），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝　　时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．（3）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB、BC的夹角∠B＝120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）思维拓展，更上一层9.“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若∠AMP＝30°，则∠ABE＝　 　°，DGQM的值为 　 　. 角度计算专项训练（1）夯实基础，稳扎稳打1.解：∵AB∥l，CD∥l，∴AB∥CD，∵∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∵∠BAC＝55°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣55°＝65°，∵要使AM与CB平行，则有∠ACB＝∠MAC，∴∠MAC＝65°，故B正确．2.解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．3解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADC=∠C=2∠B.设∠B=x°，则∠C=2x°.∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴x+2x+102=180.解得：x=26.∴∠ADC=2x=52°.4.解：在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，又∠A+∠C＝200°，所以，5.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF=∠BCF，∵∠AED=40°，AD∥BC，∴∠AED=∠BAF，∴∠BCF=40°，6..解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，∵∠1＝4∠2，∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FEH＝4x，∵∠2+∠DEF+∠HEF＝180°，∴9x＝180°，∴x＝20°，∴∠AEF＝∠2+∠HEF＝x+4x＝5x＝100°，故答案为：100°． 7、9008.解：（1）如图2，∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4＝50°，∠5＝∠6，又∵∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，m∥n，∴∠2＝180°﹣∠7＝100°，∴∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°．∵三角形内角和为180°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°；故答案为：100°，90°；（2）由（1）可得当两平面镜a、b的夹角∠3＝90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．理由：∵∠3＝90°，∴∠4+∠5＝90°．又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，∴∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4）＝360°﹣2∠4﹣2∠5＝360°﹣2（∠4+∠5）＝180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．故答案为：90°；（3）90°+α°或150°．理由如下：①当n＝3时，如图3：∵∠BEG＝∠1＝α°，∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣120°﹣α°＝60°﹣α°，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2α°，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣α°）＝60°+2α°，∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α°）﹣（60°+2α°）＝120°，∴∠GHC＝30°，由△GCH内角和得∠BCD＝180°﹣∠GHC﹣∠CGH＝180°﹣30°﹣（60°﹣α°）＝90°+α°；②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠B＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如图4所示：∵∠GBC＝180°﹣ABC＝60°，∴∠G＝∠BCD﹣∠GBC＝∠BCD﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，∠G＝∠BCD﹣60°＝90°，则∠BCD＝150°．综上所述：∠BCD的度数为90°+α°或150°．9.解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°；②当∠BAD＝∠ABD时，∵∠ABO＝∠AOB＝20°，∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAD＝120°；当∠BAD＝∠BDA时，∵∠ABO＝20°，∴∠BAD＝∠BDA＝80°，∵∠AOB＝20°，∴∠OAC＝∠BDA﹣∠AOB＝60°；故答案为：①20°； ②120°，60°；（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，∵AB⊥OM，∠MON＝40°，∴∠BFC＝50°，∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABO＝100°﹣70°＝30°，∴α＝30°；②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，∴∠DCF＝∠DBF＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝180°﹣50°﹣55°＝75°，∴α＝75°；③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，∴∠DBF＝∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，∴α＝15°；10解：∵四边形AEDC、四边形AMNB四边形BCGF都为正方形，∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，∴∠EAB＝∠CAM，在△EAB和△CAM中，AE=AC∠EAB=∠CAMAB=AM ，∴△EAB≌△CAM（SAS），∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，∴∠BPQ＝∠APM＝60°，∴∠BQP＝90°，∴PQ＝ 12 PB，设AP＝a，∴PM＝2AP＝2a，在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM＝ PM2-AP2=(2a)2-a2=3a ，∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝（ 3 ﹣1）a，∴PQ＝ 12 PB＝ 3-12 a，∴QM＝QP+PM＝ 3-12 a+2a＝ 3+32 a，∵∠ACB＝90°，∴∠DCG＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠ACB＝∠DCG，在△ACB和△DCG中，BC=CG∠ACB=∠DCGAC=CD ，∴△ACB≌△DCG（SAS），∴DG＝AB＝ 3 a，∴DGQM=3a3+32a=3-1 .故答案为：30； 3-1 .