高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后测评

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知识点01：函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数 SKIPIF 1 < 0 ，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的零点.
几何定义:函数 SKIPIF 1 < 0 的零点就是方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解,也就是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的公共点的横坐标.
这样：方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 有零点 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ；
②反比例函数 SKIPIF 1 < 0 没有零点；
③指数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）没有零点；
④对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）只有一个零点1；
⑤幂函数 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，有一个零点0；当 SKIPIF 1 < 0 时，无零点。
知识点02：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内至少有一个零点，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，这个 SKIPIF 1 < 0 也就是方程 SKIPIF 1 < 0 的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象是连续不断的;② SKIPIF 1 < 0 .两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【即学即练1】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 ．
【答案】2
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
知识点03：二次函数的零点问题
一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根也称为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点.
当 SKIPIF 1 < 0 时，一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根、二次函数 SKIPIF 1 < 0 的零点之间的关系如下表所示：
【即学即练2】（2023·高一课时练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点是1，则它的另一个零点是 ．
【答案】3
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以令 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故另一个零点为3
故答案为：3
题型01求函数的零点
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 ．
【答案】4
【详解】依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4.
【典例2】（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有一个零点2；
综上所述：函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·浙江·高一校联考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)9
(2)答案见解析
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数有两个零点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
题型02函数零点个数的判断
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为（ ）
A．1B．2
C．1或2D．0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 .
所以该函数的零点个数是1或2.
故选：C
【典例2】（2023·高一课时练习）方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】在同一直角坐标系中画出函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数为1，
故选：B

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数为 ．
【答案】2
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程 SKIPIF 1 < 0 的实根个数为2．
故答案为：2．
【典例4】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数是 .
【答案】2
【详解】作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数图像如图：

由图像可知两函数图像有 SKIPIF 1 < 0 个交点，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无数个
【答案】C
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的零点为1和 SKIPIF 1 < 0 ，故有两个零点，
故选：C
【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）先作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．
.
（2）由图象易知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数就是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点的个数． SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数为0；
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数为2；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数为4；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点的个数为3.
【变式3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 至多有 个零点.
【答案】4
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的零点可能是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 的零点至多有4个.
故答案为：4.
【变式4】（2023·全国·高三对口高考）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的交点个数为 个．
【答案】2
【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2．

故答案为：2.
题型03判断函数零点所在的区间
【典例1】（2023春·云南楚雄·高一统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在定义上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
【典例2】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）设 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的解，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
再根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】易知函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 上没有零点；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以零点所在区间是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式2】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则k的值为（ ）
A．1B．2C．0D．3
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
题型04已知零点个数求参数的取值范围
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
由于当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
则当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
【典例2】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 表示m，n中的较小数．若函数 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 有解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，必有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，必有 SKIPIF 1 < 0 ，不等式组无解，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【典例3】（2023·高一课时练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 有2个零点，求实数a的取值范围．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
画出 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下：
由图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，符合题意，
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，

【典例4】（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的解析式；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，试讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)答案见解析
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为偶函数
∴ SKIPIF 1 < 0
综上，有 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）作出 SKIPIF 1 < 0 的图像如图：
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上具有单调性，
由图可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（1）作出 SKIPIF 1 < 0 的图像如图：
由图像可知：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有四个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有六个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有三个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 没有零点.
【变式1】（2023·北京·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
函数 SKIPIF 1 < 0 可由 SKIPIF 1 < 0 分段平移得到，
易知当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，图象往下平移，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有两个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恰有一个零点，满足题意，即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】BCD
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示：
由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点．
当直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
结合图象如图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切在第一象限时，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象也有2个交点，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BCD．
【变式3】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有且只有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值集合是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由二次函数图象及函数零点存在定理可知，
该函数在 SKIPIF 1 < 0 内只有一个零点，只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，并指出其单调减区间；
(3)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有2个不相等的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)作图见解析；答案见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
列表：
描点连线得图象如图所示：
由图象可得单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有2个不相等的实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个不同的交点，
由（2）中的图可知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
题型05已知零点所在区间求参数的取值范围
【典例1】（2023春·河南信阳·高一统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由零点存在定理可知，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例2】（多选）（2023秋·高一单元测试）函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：BC
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 为实数，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且有零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·高一课时练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内恰有一个零点，则a的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
因函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内恰有一个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【变式2】（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有交点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 为连续函数，
且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型06二次函数的零点问题
【典例1】（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
要想满足 SKIPIF 1 < 0 ，则要 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例2】（2023·高一课时练习）方程 SKIPIF 1 < 0 的一根大于1，一根小于1，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵方程 SKIPIF 1 < 0 的一根大于1，另一根小于1，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·江苏·高一假期作业）（1）判断二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内是否存在零点；
（2）若二次函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两个零点均为正数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）存在；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在零点.
（2）因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两个零点均为正数，
所以二次 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两个正实数根．设为 SKIPIF 1 < 0 ，
由一元二次方程的根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在两个不同的实根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有2个不同的解，
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据双勾函数的性质可知，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有2个不同的解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:D.
【变式2】（2023·高一课时练习）若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有解， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【变式3】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若该函数有两个不相等的正零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的正零点，且对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，一个大于1，另一个小于1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题型07函数与方程综合
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，常数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有一个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）①若 SKIPIF 1 < 0 有定义，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
②若 SKIPIF 1 < 0 无定义，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，不关于原点对称，故 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，不符合题意.
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有且仅有一个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)证明：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
(2)讨论关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）任取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（2）关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数，等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与常函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数，
由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
结合（1）可得：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图所示：
可得函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图所示：
对于函数 SKIPIF 1 < 0 与常函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数，
则有：当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为0个；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为2个；
当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为3个；当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为4个．
【变式1】（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无解，求实数m的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故方程 SKIPIF 1 < 0 无解，则实数m的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不相等的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由图象知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不相等的实数根，等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不同的交点，
由图象可知： SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由零点存在性定理知， SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知方程 SKIPIF 1 < 0 的解在 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【详解】令函数 SKIPIF 1 < 0 ，显然函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的解在 SKIPIF 1 < 0 内，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为二次函数图象的开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都大于2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
4．（2023·高一课时练习）已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的零点情况是（ ）
A．有两个零点B．有唯一零点C．没有零点D．不确定
【答案】C
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 开口向下，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点.
故选：C
5．（2023春·山东聊城·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的零点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象交点的横坐标，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象交点的横坐标，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象交点的横坐标，
分别作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，则由图象可得 SKIPIF 1 < 0 ，

因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设实数a为常数，则函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点的充分必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点，等价于方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，
注意到 SKIPIF 1 < 0 的图像开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故上述条件等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点的充分必要条件是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7．（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 有五个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故问题转为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共有四个零点，
画出函数图象如下可知：则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D

8．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一， SKIPIF 1 < 0 被称为“高斯函数”，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，例如： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，由高斯函数的定义可知， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的零点是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：CD
10．（2023·高一课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 为定义在R上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为常数），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．函数 SKIPIF 1 < 0 仅有一个零点
【答案】ABD
【详解】对A：因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对BC： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，C错误；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；因为 SKIPIF 1 < 0 是增函数， SKIPIF 1 < 0 也是增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是单调增函数， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调增函数，至多有一个零点；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 仅有一个零点，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，无零点，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 内(填序号).
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】③
【详解】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解在区间 SKIPIF 1 < 0 上．
故答案为： ③．
四、解答题
13．（2023·高一课时练习）已知一次函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是2和1．
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由条件得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是2和1．
14．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在零点.
【答案】(1)2
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)证明见解析
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
根据零点的存在性定理可知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在零点.
B能力提升
1．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图，

若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2023春·天津·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 恰有2个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 恰有2个零点，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 有2个交点，
画出函数图象，如图，平移直线 SKIPIF 1 < 0 ，
可以看出当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有2个交点．
故选：C．
3．（2023春·浙江·高一景宁中学校联考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 满足：① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内是单调递增函数；② SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则称区间 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 级“调和区间”.若函数 SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 级“调和区间”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若函数 SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 级“调和区间”，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当方程 SKIPIF 1 < 0 存在两个大于等于1的不相等实数根时满足题意，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2023春·浙江杭州·高一统考期末）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“不动点”.若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“稳定点”.记函数 SKIPIF 1 < 0 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .经研究发现：若函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 .设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
C综合素养
1．（2023秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有四个解，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的严格减函数，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)作图见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)2；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图，
关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有四个解，即直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有4个公共点，
由图象，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的值为2.
（3）因为函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的严格减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为R上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(3)作出 SKIPIF 1 < 0 的图象，并求当函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围．
【答案】(1)0；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)图象见解析， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图示：
在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值1，
在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故当函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 图象恰有三个不同的交点时，
实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
学习目标
①了解函数的零点与方程的解的关系，
并能结合函数的图象判定函数的零点。
②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。
通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的实数根
SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
方程无实数根
SKIPIF 1 < 0 的图象
SKIPIF 1 < 0 的零点
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
函数无零点
SKIPIF 1 < 0
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
4
…
SKIPIF 1 < 0
…
5
2
1
2
5
2
1
2
5
…