人教A版高中数学（选择性必修一）同步讲义第10讲 拓展四：空间中距离问题（2份打包，原卷版+教师版）

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第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）一、知识点归纳知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线 SKIPIF 1 < 0 的单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的定点， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 外一点.设 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 2、点到平面的距离如图，已知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内的定点， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外一点.过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，交平面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量，且点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就是 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 的长度. SKIPIF 1 < 0 二、题型精讲题型01利用向量法求点到直线的距离 【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且l过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________.【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是（    ）．A． SKIPIF 1 < 0  B．1 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为__________．题型02点到平面的距离等体积法 【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积为6， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C．2 D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点．  (1)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．(2)线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是腰长为2的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)作出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，并说明理由；(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,已知棱 SKIPIF 1 < 0 两两垂直且长度分别为1,1,2, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．(1)若 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 .  (1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ：(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，并求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且E为 SKIPIF 1 < 0 中点．求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.  (1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点（不与 SKIPIF 1 < 0 重合），平面 SKIPIF 1 < 0 交棱 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面截此正方体，得如图所示的多面体， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点.  (1)点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的位置，并说明理由；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最大距离.【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值大小；(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点 SKIPIF 1 < 0 是半圆弧 SKIPIF 1 < 0 上一动点（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合）， SKIPIF 1 < 0 为弧 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .  (1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，求此时点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为底面的圆心，其母线长为6，边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边 SKIPIF 1 < 0 内接于圆锥底面， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .    (1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，射线 SKIPIF 1 < 0 与底面圆周交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，各侧棱长均为3.(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出此时 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，说明理由.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ;(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值;(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置;若不存在,请说明理由．【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的一动点.试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 .