天津市九校2023-2024学年高三下学期联合模拟考试数学试卷

这是一份天津市九校2023-2024学年高三下学期联合模拟考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）
参考公式：柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若p：，q：，则ρ是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，则（ ）
A．25B．5C．D．．
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用列联表，由计算可得．
则下列结论正确的是（ ）
A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D．有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
7．在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且．设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，若过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
9．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，有下述四个结论：
① ；
② 函数在区间上单调递增；
③ 点是函数图象的一个对称中心；
④ 当时，函数的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．① ② ③B．② ③C．① ③ ④D．② ④
第Ⅱ卷（本卷共11小题，共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．设，则______．
11．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中的常数项为______．
12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
13．某批产品共10件，其中含有2件次品．若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数X的期望是______．
14．在梯形ABCD中，，且，M，N分别为线段DC和AB的中点，若，，用，表示______，若，则余弦值的最小值为______．
15．已知函数关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
设的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（本小题满分15分）
如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．
18．（本小题满分15分）
已知数列为等差数列，记，分别数列，的前n项和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：当时，．
19．（本小题满分15分）
已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若，求直线MN的方程．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当时，，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设，证明：．
2024年天津市普通高等学校招生九校模拟试卷答案
数学
一、（45分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B
二、（30分）
10．1 11．80 12． 13．
14． 15．或
三、（75分）
16．（14分）解：（Ⅰ）由可得，
则，
即，解得或（舍去）．
（Ⅱ）由余弦定理可得，
由同角三角函数基本关系可得，
故，
，
所以．
17.（1 5分）解：（Ⅰ）证明：如图，以点D为原点，分别以射线DA，DC为x轴，y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意，可得，，，，，
，，
∴，
即，∴，
（Ⅱ）设为平面PAM的法向量，
则即
取，得．
显然为平面ABCD的个法向量，
∴，
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为45°．
（Ⅱ）设点D到平面AMP的距离为d，，
由（Ⅱ）可知与平面PAM垂直．
则，
即点D到平面AMP的距离为．
18．（15分）（Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，而，
则，，，
于是解得，
∴，
∴数列的通项公式为．
（Ⅱ）证法一：由（Ⅰ）知，，
当n为偶数时，，
，
当时，，因此；
当n为奇数时，，
当时，
，因此．
综上，当时，．
证法二：由（Ⅰ）知，，
，当n为偶数时，
，
当时，，因此；
当n为奇数时，若，
则
，
显然满足上式，因此当n为奇数时，
．
当时，
，因此．
综上，当时，．
19．（15分）解：（Ⅰ）根据题意可得解得
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
∵轴，
∴，
∵点S在y轴的正半轴，
∴点H在x轴上方．
∵点H在椭圆上，
∴，
解得，
∴，即．
由，即，
解得，
∴，∴．
当直线MN的斜率存在时．设直线MN的方程为，
设，，
联立消y，化简整理得，，
∴，① ．②
∵，
∴，
∴，所以，
∴，
∴，
即，③
由①②③，解得，
∴直线MN的方程为，．
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，
此时，不合题意．
综上，直线MN的方程为，．
20．（16分）（Ⅰ）解：当时，，则，
当时，，当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅱ）解：设，则，
又，设，
则．
若，则，
因为的图象是连续不断的曲线，
故存在，使得，总有，
故在上单调递增，故，
故在上单调递增，故，与题设矛盾．
若，则，
设，
故，
故在上单调递减，故，即恒成立．
，
故，即在上单调递减，
所以．
当时，
有，
所以在上单调递减，
所以．
综上，实数a的取值范围为．
（Ⅲ）证明：取，则，总有成立，
令，则，，，
故，即对任意的恒成立．
所以对任意的，有，整理得，
故
，不等式成立．
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635