北京市东城区2024届高三下学期4月一模试题 数学 Word版含答案

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2024.4
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知，，且，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线的离心率为2，则=
（A） （B） （C） （D）
（4）设函数，有
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象
（A）关于直线对称 （B）关于点对称
（C）关于直线对称 （D）关于点对称
（6）已知，若，则的取值可以为
（A） （B） （C） （D）
（7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是的中点，为的中心. 现将沿翻折为，记的中心为，如图2. 设直线与平面的夹角为，则的最大值为

图1 图2
（B） （C） （D）
（10）已知是定义在R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是
（A）若在R上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
（B）对于任意实数，若在上单调递增，则在R上单调递增
（C）对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
（D）若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数，则___________.
（12）设向量，且，则___________.
（13）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是= ，= .
（14）已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点， 且，则_____.
（15）已知数列的各项均为正数，满足，其中常数.给出下列四个判断：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④，存在实数，使得.
其中所有正确判断的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，为边的中点，且，求的值.
(17)（本小题13分）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为,求的分布列与数学期望;
（Ⅲ）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506, 516, 553, 592, 617, 632, 667, 693, 723, 776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y, 试判断数学期望与(Ⅱ)中的的大小.(结论不要求证明)
(18)（本小题14分）
如图，在五面体中，底面为正方形，，.
（Ⅰ）求证：∥；
（Ⅱ）若为的中点，为的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件 = 1 \* GB3 ①：；
条件 = 2 \* GB3 ②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（19）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，求函数的最小值；
（ = 3 \* ROMAN III）若，求实数的值.
（20）（本小题15分）
已知椭圆的短轴长为，离心率.
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
（21）（本小题15分）
有穷数列中，令
，
当时规定.
（Ⅰ）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；
（Ⅱ）已知整数列,为偶数. 若满足：当为奇数时，；当为偶数时，. 求的最小值；
（Ⅲ）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）C（3）B （4） A （5）C
（6）A（7）B （8）A（9） C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13） (答案不唯一)
（14），2 （15）②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，
根据正弦定理得.
所以.
因为，所以，
从而得.
又因为，所以，
所以，可得. 分
（Ⅱ）在中，，，.
由正弦定理得，
所以，.
所以.
在中，由余弦定理得
.
所以. 分
（17）（共13分）
解:（Ⅰ）由频率分布直方图可得，100人的样本中阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为，估计该校高二学生阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为0.4,故人数的估计值为1500×0.4=600人. 分
（Ⅱ）从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为
.
又的可能取值为，
由题意可得，则
，
，
，
.
所以的分布列为
的数学期望为. 分
（Ⅲ）. 分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为四边形是正方形，
所以.
又，
所以.
又平面平面，，
所以. 分
（Ⅱ）选取条件 = 1 \* GB3 ①: .
取的中点，的靠近点的四等分点，
连接，
因为是中点，是中点，
所以，.
因为，所以.
又，且，
所以.
又因为,所以.
又且，所以.
又,
所以.
如图，建立空间直角坐标系，
由题意得，，
所以，，.
设平面的法向量，则
即
令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则
．
所以与平面所成角的正弦值为. 分
选取条件 = 2 \* GB3 ②: .
在中，，，
,
于是，.
因为，于是，，所以.
又，且，
所以.
取的中点，取的靠近点的四等分点,
连接，如图建系,
下同条件①，可得与平面所成角的正弦值为. 分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）.
曲线在处的切线的斜率.
又因为，所以切点为．
曲线在处的切线方程为. 分
（Ⅱ）设,
.
当变化时，和的变化如下表：
当 时，. 分
（Ⅲ）若，则，不合题意；
若， 设，
由（II）知，，
所以在上单调递增.
又，所以
当时，；
当时，.
所以符合题意.
综上所述. 分
（20）（共15分）
解：（ = 1 \* ROMAN I）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为. 分
（ = 2 \* ROMAN II）当直线斜率存在时，设直线，
由直线与圆相切得，化简得.
设，则，
，
，.
因为在椭圆上，
所以，即，
即，解得，，.
此时弦长，
因为到直线的距离,
所以平行四边形的面积.
当直线斜率不存在时，不妨设直线，则 ，
所以不在椭圆上,不合题意. 分
(21)（共15分）
解：（Ⅰ） 分
（Ⅱ）由已知得与异号，其中.
由于.
因此.
而,,所以.
令.当为奇数时，取，
时，
有.
当为偶数时，取，
时，.
综上，的最小值为. 分
（Ⅲ）对于数列，，不妨设.
因此要证：，
首先考虑的情况.
由于，所以.同理
由已知，所以.
（2）下面考虑中有一段是连续的正整数的情况，即
，，
由于由已知
这说明此连续的项的和为负.
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负.
再由（1）的结论可得：.
若在（1）,（2）中，由于
此时去掉前项，则可转化为（1）,（2）的情况.所以有.
（4）若则所以此时有
综上所述，结论成立分
0
1
2
3
（1，2）
2
（2，+∞）
0
+
↘
极小值
↗