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黑龙江省协作体2024届高三下学期三模考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份黑龙江省协作体2024届高三下学期三模考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知抛物线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合A={2，3}，B={x|0A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为
A.2 B.1 C.1 D.2
3.已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为
A. B. C. D.
4.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，≈0.577215664901…，目前还不确定是有理数还是无理数.由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间存在一定误差，已知ln2≈0.693，ln3≈1.099，则用上式估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为
5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上，直线AF交y轴于点B，且，则点A到准线l的距离为
A.4 B.5 C.6 D.8
6.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好﹖人获奖的概率是
A. B. C. D.
7.已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则
A.是偶函数 B.的图象关于直线对称
C.在上的最大值为0 D.不等式的解集为，k∈z
8.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左，右两支分别交于A，B两点.若，且cs∠F1BF2=，则双曲线C的离心率为
A. C.4 B. D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是
A.成绩在[70，80)的考生中，甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在[80，90)内人数最多
C.乙班成绩在[70，80)内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
10.如图，三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB=2PC=2，则
A.BC⊥PA B.三棱锥P-ABC的体积为
C.点P到平面ABC的距离为 D.三棱锥P一ABC的外接球的表面积为
11.已知函数，则下列结论正确的是
A.的图象在点处的切线在y轴上的截距为
B.在上为增函数
G.在上的最大值为多e
D.若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有_________种排法.(用数字作答)
13.已知圆C：，A(-3，0)，B(-1，0).若C上存在点P，使得∠APB=90°，则r的取值范围为____________.
14在长方体AECD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，点Р为侧面ABB1A1内一动点P，且满足C1P//平面ACD1，则C1P的最小值为_________，此时点P到直线A1C1的距离为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
(1)若，求曲线在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围.
16.(15分)
为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().
附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.
17.(15分)
在如图所示的多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为/2的正方形，其对角线的交点为Q，DM⊥平面ABCD，DM∥BN，DM=2BN=2，点P是棱DM的中点.
(1)求证：PQ⊥平面ANC；
(2)求直线AN和平面CMN所成角的正弦值.
18.(17分)
记椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B(0，1)，直线BA1，BA2的斜率满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆上点(，)处的切线方程是.若点P为直线l：上的动点，过点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，求△PMN面积的最小值.
19.(17分)
如果n项有穷数列满足，，…，，即(i=1，2…，n)，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2=3，b5=5，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当k为何值时，取得最大值?
②若=2024，且=2024，求k的最小值.
2023~2024学年度高三年级第三次模拟·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题知B={x|02.D 令(a，b∈R)，则，，，因为，所以，所以.
3.B 由图知，图中函数图象的最小正周期T=2，所以排除A，D；对于C，，过(0，-1)，排除；对于B，，满足条件，正确.
4.A 依题意，所以，又，所以估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为1.8728-1.792=0.0808≈0.081.
5.D 设A(，)，B(0，t)，因为F(2，0)，，所以，所以，所以=6，所以A到l的距离d=6+2=8.
6.A 从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，其中两个号码的和为偶数的有{1，3}，{1，5}，{2，4}，{3，5}共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.
7.C 由题知，由于的定义域为R，且，故为奇函数，A错误；又，故的图象不关于直线对称，B错误；因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；，则，则，k∈Z，故，k∈Z，D错误.
8.B 由题意结合双曲线定义可知且，不妨设，则，，.在△ABF2中，cs∠F1BF2=，由余弦定理得，即.解得.在△F1BF2中，由余弦定理得，即，结合，得，故离心率.
9.ACD 由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；甲班成绩主要集中在[80，90)，乙班成绩主要集中在[60，70)，B正确，C错误；甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.
10.AC由已知PA⊥PB，PA⊥PC，PC∩PB=P，PC，PB平面PBC，得PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，
故BC⊥PA，A正确；
因为PA，PB，PC两两垂直，则Vp-ABC=VA-PBC=，故B错误；
设Р到平面ABC的距离为h，因为S△ABC=，所以VP-ABC=，解得.所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；
因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥P-ABC的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为，故D错误.
11.ACD 当时，，，所以，，所以函数的图象在点处的切线方程为，故切线在y轴上的截距为，A正确；当时，，，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，故B错误，C正确；
当时，，，令得，(k=0，1，2，3，4，5…)，当时，，，令得，(k=0，-1，-2，-3，-4，-5…)，且以上零点均为变号零点，故均为极值点，而为R上的偶函数，也是的一个极值点，因此，函数在(-m，m)内有11个极值点，则+5，即实数m的取值范围为，故D正确.
12.252 由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共有=252种.
13.[4，6] 因为点A(-3，0)，B(-1，0)，而点P满足∠APB=90°，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得4≤r≤6.
14.(2分) (3分) 如图所示，因为AB∥C1D1且AB=C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，因为BC1平面ACD1，AD1∈平面ACD1，所以BC1//平面A1CD1，同理可证A1B//平面ACD1，因为A1B∩BC1=B，A1B，BC1∈平面A1BC1，所以平面A1BC1//平面ACD1，因为P∈平面AA1B1B，要使得C1P//平面ACD1，则C1P平面A1BC1，因为平面AA1B1B∩平面A1BC1=A1B，故点P的轨迹为线段A1B，当C1P取最小值时，C1P⊥A1B，则P为A1B的中点，C1P=.以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，易知A1(2，0，4)，C1(0，4，4)，P(2，2，2)，=(-2，4，0)，=(0，2，-2)，取=(0，2，-2)，=(-1，2，0)，则，，所以点Р到直线A1C1的距离为.
15.解：(l)时，，所以，
所以，，
所以曲线在点(0，f(0))处的切线方程为，即.….…4分
(2)因为，
所以是的一个零点，……..……分
因为恰有三个零点，
所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，分
令，所以，
令，得，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，……9分
当时，的值域为；当时，的值域为，……10分
所以，且，所以，且，
所以a的取值范围是.……13分
16.解：(1)由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；……4分
(2)①由(1)可知=69.5，≈9.21，
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；……10分
②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，
依题意，服从二项分布，即～B(3×104，0.819)，
则E()=np=24570.…分
17.(1)证明：连接PN，QN.
因为DM⊥平面ABCD，AD，DC，DB平面ABCD，所以DM⊥DB，PD⊥AD，PD⊥DC.
因为DM=2BN=2，P是DM中点，所以四边形PDBN为矩形，PN=BD=2，PD=NB=1.……2分
因为Q是正方形ABCD的对角线交点﹐所以Q为AC，DB中点，PQ=NQ=
所以PQ2+NQ2=PN2，PQ⊥QN.…………4分
因为PA=PC=，Q为AC中点，所以PQ⊥AC.
又AC∩NQ=Q，AC，NQ平面ANC，所以PQ⊥平面ANC.…分
(2)解：由(1)知，DA，DC，DM两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(，0，0)，C(0，，0)，M(0，0，2)，N(，，1)，
则=(，0，1)，=(，，-1)，=(0，，1)，……9分
设平面CMN的法向量为=(x，y，z)，
所以由得
令，可得=(-1，2，2)，…….12分
设直线AN和平面CMN所成角为θ，则，
所以直线AN和平面CMN所成角的正弦值为…………………………15分
18.解：(1)由题知，上顶点B(0，1)，得b=1；
左、右顶点A1(-a，0)，A2(a，0)，，得，
故椭圆C的方程为……4分
(2)设M(，N，P，
由题意知，过M，N的切线分别为，，….…6分
代入Р点坐标得，，
故直线MN：，………8分
联立椭圆方程消去x得：，则，
所以，，
则分
而P到直线MN的距离，
所以△PMN面积，…….14分
令，则在上递增，
所以，故△PMN的面积的最小值为，当且仅当t=0时取得.……17分
19.解：(1)因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差，……3分
所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1.……4分
(2)①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1，…，c2k-1构成公差为-2的等差数列.……6分
故
.…...….………分
所以当=1012时，取得最大值.………9分
②因为即，
所以即.
于是.……………………11分
因为数列是“对称数列”，所以)
，…..…13分
因为，故，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025.……15分
当c1，c2，…，ck构成公差为-2的等差数列时，满足c1=2024，且，
此时k=2025，所以k的最小值为…….17分
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合A={2，3}，B={x|0
2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为
A.2 B.1 C.1 D.2
3.已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为
A. B. C. D.
4.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，≈0.577215664901…，目前还不确定是有理数还是无理数.由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间存在一定误差，已知ln2≈0.693，ln3≈1.099，则用上式估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为
5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上，直线AF交y轴于点B，且，则点A到准线l的距离为
A.4 B.5 C.6 D.8
6.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好﹖人获奖的概率是
A. B. C. D.
7.已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则
A.是偶函数 B.的图象关于直线对称
C.在上的最大值为0 D.不等式的解集为，k∈z
8.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左，右两支分别交于A，B两点.若，且cs∠F1BF2=，则双曲线C的离心率为
A. C.4 B. D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是
A.成绩在[70，80)的考生中，甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在[80，90)内人数最多
C.乙班成绩在[70，80)内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
10.如图，三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB=2PC=2，则
A.BC⊥PA B.三棱锥P-ABC的体积为
C.点P到平面ABC的距离为 D.三棱锥P一ABC的外接球的表面积为
11.已知函数，则下列结论正确的是
A.的图象在点处的切线在y轴上的截距为
B.在上为增函数
G.在上的最大值为多e
D.若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有_________种排法.(用数字作答)
13.已知圆C：，A(-3，0)，B(-1，0).若C上存在点P，使得∠APB=90°，则r的取值范围为____________.
14在长方体AECD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，点Р为侧面ABB1A1内一动点P，且满足C1P//平面ACD1，则C1P的最小值为_________，此时点P到直线A1C1的距离为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
(1)若，求曲线在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围.
16.(15分)
为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().
附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.
17.(15分)
在如图所示的多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为/2的正方形，其对角线的交点为Q，DM⊥平面ABCD，DM∥BN，DM=2BN=2，点P是棱DM的中点.
(1)求证：PQ⊥平面ANC；
(2)求直线AN和平面CMN所成角的正弦值.
18.(17分)
记椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B(0，1)，直线BA1，BA2的斜率满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆上点(，)处的切线方程是.若点P为直线l：上的动点，过点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，求△PMN面积的最小值.
19.(17分)
如果n项有穷数列满足，，…，，即(i=1，2…，n)，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2=3，b5=5，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当k为何值时，取得最大值?
②若=2024，且=2024，求k的最小值.
2023~2024学年度高三年级第三次模拟·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题知B={x|0
3.B 由图知，图中函数图象的最小正周期T=2，所以排除A，D；对于C，，过(0，-1)，排除；对于B，，满足条件，正确.
4.A 依题意，所以，又，所以估算出的ln6与实际的ln6的误差绝对值近似为1.8728-1.792=0.0808≈0.081.
5.D 设A(，)，B(0，t)，因为F(2，0)，，所以，所以，所以=6，所以A到l的距离d=6+2=8.
6.A 从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，其中两个号码的和为偶数的有{1，3}，{1，5}，{2，4}，{3，5}共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.
7.C 由题知，由于的定义域为R，且，故为奇函数，A错误；又，故的图象不关于直线对称，B错误；因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；，则，则，k∈Z，故，k∈Z，D错误.
8.B 由题意结合双曲线定义可知且，不妨设，则，，.在△ABF2中，cs∠F1BF2=，由余弦定理得，即.解得.在△F1BF2中，由余弦定理得，即，结合，得，故离心率.
9.ACD 由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；甲班成绩主要集中在[80，90)，乙班成绩主要集中在[60，70)，B正确，C错误；甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.
10.AC由已知PA⊥PB，PA⊥PC，PC∩PB=P，PC，PB平面PBC，得PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，
故BC⊥PA，A正确；
因为PA，PB，PC两两垂直，则Vp-ABC=VA-PBC=，故B错误；
设Р到平面ABC的距离为h，因为S△ABC=，所以VP-ABC=，解得.所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；
因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥P-ABC的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为，故D错误.
11.ACD 当时，，，所以，，所以函数的图象在点处的切线方程为，故切线在y轴上的截距为，A正确；当时，，，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，故B错误，C正确；
当时，，，令得，(k=0，1，2，3，4，5…)，当时，，，令得，(k=0，-1，-2，-3，-4，-5…)，且以上零点均为变号零点，故均为极值点，而为R上的偶函数，也是的一个极值点，因此，函数在(-m，m)内有11个极值点，则+5，即实数m的取值范围为，故D正确.
12.252 由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共有=252种.
13.[4，6] 因为点A(-3，0)，B(-1，0)，而点P满足∠APB=90°，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得4≤r≤6.
14.(2分) (3分) 如图所示，因为AB∥C1D1且AB=C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1//AD1，因为BC1平面ACD1，AD1∈平面ACD1，所以BC1//平面A1CD1，同理可证A1B//平面ACD1，因为A1B∩BC1=B，A1B，BC1∈平面A1BC1，所以平面A1BC1//平面ACD1，因为P∈平面AA1B1B，要使得C1P//平面ACD1，则C1P平面A1BC1，因为平面AA1B1B∩平面A1BC1=A1B，故点P的轨迹为线段A1B，当C1P取最小值时，C1P⊥A1B，则P为A1B的中点，C1P=.以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，易知A1(2，0，4)，C1(0，4，4)，P(2，2，2)，=(-2，4，0)，=(0，2，-2)，取=(0，2，-2)，=(-1，2，0)，则，，所以点Р到直线A1C1的距离为.
15.解：(l)时，，所以，
所以，，
所以曲线在点(0，f(0))处的切线方程为，即.….…4分
(2)因为，
所以是的一个零点，……..……分
因为恰有三个零点，
所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，分
令，所以，
令，得，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，……9分
当时，的值域为；当时，的值域为，……10分
所以，且，所以，且，
所以a的取值范围是.……13分
16.解：(1)由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；……4分
(2)①由(1)可知=69.5，≈9.21，
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；……10分
②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，
依题意，服从二项分布，即～B(3×104，0.819)，
则E()=np=24570.…分
17.(1)证明：连接PN，QN.
因为DM⊥平面ABCD，AD，DC，DB平面ABCD，所以DM⊥DB，PD⊥AD，PD⊥DC.
因为DM=2BN=2，P是DM中点，所以四边形PDBN为矩形，PN=BD=2，PD=NB=1.……2分
因为Q是正方形ABCD的对角线交点﹐所以Q为AC，DB中点，PQ=NQ=
所以PQ2+NQ2=PN2，PQ⊥QN.…………4分
因为PA=PC=，Q为AC中点，所以PQ⊥AC.
又AC∩NQ=Q，AC，NQ平面ANC，所以PQ⊥平面ANC.…分
(2)解：由(1)知，DA，DC，DM两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(，0，0)，C(0，，0)，M(0，0，2)，N(，，1)，
则=(，0，1)，=(，，-1)，=(0，，1)，……9分
设平面CMN的法向量为=(x，y，z)，
所以由得
令，可得=(-1，2，2)，…….12分
设直线AN和平面CMN所成角为θ，则，
所以直线AN和平面CMN所成角的正弦值为…………………………15分
18.解：(1)由题知，上顶点B(0，1)，得b=1；
左、右顶点A1(-a，0)，A2(a，0)，，得，
故椭圆C的方程为……4分
(2)设M(，N，P，
由题意知，过M，N的切线分别为，，….…6分
代入Р点坐标得，，
故直线MN：，………8分
联立椭圆方程消去x得：，则，
所以，，
则分
而P到直线MN的距离，
所以△PMN面积，…….14分
令，则在上递增，
所以，故△PMN的面积的最小值为，当且仅当t=0时取得.……17分
19.解：(1)因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差，……3分
所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1.……4分
(2)①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1，…，c2k-1构成公差为-2的等差数列.……6分
故
.…...….………分
所以当=1012时，取得最大值.………9分
②因为即，
所以即.
于是.……………………11分
因为数列是“对称数列”，所以)
，…..…13分
因为，故，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025.……15分
当c1，c2，…，ck构成公差为-2的等差数列时，满足c1=2024，且，
此时k=2025，所以k的最小值为…….17分
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