人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品当堂检测题，文件包含人教A版高中数学选择性必修三同步讲义第04讲631二项式定理+632二项式系数的性质原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修三同步讲义第04讲631二项式定理+632二项式系数的性质教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。


知识点01：知识链接
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
知识点02：二项式定理及相关概念
（1）二项式定理
一般地，对于每个 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等号右边的多项式叫做 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式.
【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项B．第4项
C．第5项D．第3项和第4项
【答案】B
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.
故选：B.
【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中所有二项系数的和等于 SKIPIF 1 < 0 ，则在的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中所有二项系数的和等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
（4）二项式定理的三种常见变形
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
知识点03：二项展开式的通项
二项展开式中的 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )叫做二项展开式的通项,用 SKIPIF 1 < 0 表示,即通项为展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项: SKIPIF 1 < 0 .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.
知识点04：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： SKIPIF 1 < 0
②增减性：当 SKIPIF 1 < 0 时，二项式系数递增，当 SKIPIF 1 < 0 时，二项式系数递减；
③最大值：当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
④各二项式系数和： SKIPIF 1 < 0 ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该展开式各项的二项式系数和为（ ）
A．81B．64C．27D．32
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴该展开式各项的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【答案】15
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数之和为64，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以第 SKIPIF 1 < 0 项展开式为 SKIPIF 1 < 0 ，
若求常数项，则令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即常数项为15.
故答案为：15.
题型01 求 SKIPIF 1 < 0 型的展开式
【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例2】（2023上·高二课时练习）求 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由二项式定理，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式是 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）解：由 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出 SKIPIF 1 < 0 的展开式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】在二项式定理中令 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求 SKIPIF 1 < 0 的展开式．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
题型02 二项展开式的逆用
【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中） SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A．1B．－1
C．(－1)nD．3n
【答案】C
【详解】原式= SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】原式 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023上·高二课时练习）化简 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】1
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模） SKIPIF 1 < 0 的值是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．60C．210D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是（ ）
A．126B．125C．96D．83
【答案】B
【详解】由题意原式中 SKIPIF 1 < 0 的系数 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B.
【典例3】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的第3项为（ ）
A．160B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C项正确.
故选：C．
【典例4】（2023上·高二课时练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】由二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得展开式中第3项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以第3项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 .(用数字作答)
【答案】60
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为60.
故答案为：60
【变式2】（2023·山西临汾·校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数是 ．（用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开通项公式为
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中的含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 ．
【答案】-40
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2023下·江苏镇江·高二统考期中）在 SKIPIF 1 < 0 展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意，多项式 SKIPIF 1 < 0 ，
根据组合数的运算，展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型04 三项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023下·河北邢台·高二统考期末） SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为（ ）
A．6B．15C．20D．28
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中的常数项即分子 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 （用数字作答）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试） SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 ．
【答案】-160
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
故通项公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
故通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：-160
【变式1】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，记 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，记 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 项的系数 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是3，∴得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是2，得到 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，构成 SKIPIF 1 < 0 项只能是一个 SKIPIF 1 < 0 、一个 SKIPIF 1 < 0 、3个 SKIPIF 1 < 0 相乘，
故此项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型05 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C．77D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【典例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，所有项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为 （用数字作答）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得二项式 SKIPIF 1 < 0 的所有项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1，…，8，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023上·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 .
【答案】960
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，故令 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：960.
【典例4】（2023·天津·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的展开式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，1，2，…，8）．
当 SKIPIF 1 < 0 时，其展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，其展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若其展开式中各项的系数和为81，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 展开式中各项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·江苏·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 .
【答案】32
【详解】记 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：32
【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】720
【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的项为： SKIPIF 1 < 0 ，
则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为：720.
故答案为：720.
题型06 二项式系数最大项问题
【典例1】（2023·四川绵阳·统考二模） SKIPIF 1 < 0 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023上·高二课时练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项和第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数相等，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 的二项式系数的最大值是多少？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
所以第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的一共 SKIPIF 1 < 0 项，则第 SKIPIF 1 < 0 项和第 SKIPIF 1 < 0 项二项式系数相等同时取得最大值，
又 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）
所以第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，第 SKIPIF 1 < 0 项二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由二项式系数性质可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因此展开式中二项式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，是第6项.
故选：C
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023上·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是x的系数的7倍，求n的值及二项式系数的最大值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为70.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的系数等于x的系数的7倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以二项式系数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
题型07 系数最大（小）项问题
【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
【典例2】（2023·上海嘉定·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为整数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时最大的项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中系数最大的项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项的系数最大，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以系数最大的项为第 SKIPIF 1 < 0 或第 SKIPIF 1 < 0 项，
所以系数最大的项为：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例4】（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ②第6项和第7项
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）① SKIPIF 1 < 0 ．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②设第 SKIPIF 1 < 0 项系数的绝对值最大，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
【变式1】（2023·河南安阳·统考二模） SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112B．448C．896D．1792
【答案】D
【详解】该二项式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中各项系数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
【变式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，系数最大的项为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为整数.
要想系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 为偶数，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然系数最大项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n的值；
(2)系数最大的项．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的值为6.
（2） SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式中系数最大的项为第 SKIPIF 1 < 0 项，且 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式4】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②第6项和第7项
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）① SKIPIF 1 < 0 ．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②设第 SKIPIF 1 < 0 项系数的绝对值最大，
则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
题型08 赋值法解决系数和问题
【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是 SKIPIF 1 < 0 ；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，____．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的中间项为 SKIPIF 1 < 0 ．
②二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为正数， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为负数．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ．
再令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】（2023下·山东济南·高二校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)1
(2)625
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ②,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（2023上·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ．求：
(1) SKIPIF 1 < 0 的值；
(2) SKIPIF 1 < 0 的值；
(3) SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根据展开式的通项公式知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为负， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正；
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例4】（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，求下列各式的值.
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)1024
(2)58024
(3)393660
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
两边对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，②
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为含 SKIPIF 1 < 0 项的系数，为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023上·高二单元测试）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)800；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)0.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023下·河北保定·高二校考阶段练习）设设 SKIPIF 1 < 0 十 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 的和为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的各个项的系数和，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式4】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1)2
(2)18
【详解】（1）解：由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同时求导数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
题型09 有关整除或求余问题
【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 能被7整除，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-4B．-5C．-6D．-7
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 能被7整除，
且 SKIPIF 1 < 0 能被7整除，
故 SKIPIF 1 < 0 能被7整除，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2】（2023上·山东·高二校联考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 被8除的余数为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 是8的整数倍，
故 SKIPIF 1 < 0 被8除的余数为3.
故选：B
【典例3】（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过 SKIPIF 1 < 0 天后是（ ）
A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 除以7的余数为1，所以经过 SKIPIF 1 < 0 天后是星期四，
故选：B．
【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设 SKIPIF 1 < 0 的小数部分为x，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的整数部分为4，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B
【变式2】（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．
【答案】6
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 均能被7整除，所以余数为6，
故答案为：6
【变式3】（2023上·高二课时练习）用二项式定理证明 SKIPIF 1 < 0 能被8整除．
【答案】见解析
【详解】证明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 能被8整除.
所以 SKIPIF 1 < 0 能被8整除.
题型10 利用二项式定理近似计算
【典例1】（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得： SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算 SKIPIF 1 < 0 的近似值，可以这样操作： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，用这样的方法，估计 SKIPIF 1 < 0 的近似值约为（ ）
A．2.922B．2.928C．2.926D．2.930
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）估算 SKIPIF 1 < 0 的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16
【答案】A
【详解】原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习） SKIPIF 1 < 0 的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以含 SKIPIF 1 < 0 的项是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
2．（2023上·湖北黄冈·高三校联考期中）若 SKIPIF 1 < 0 为一组从小到大排列的数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的第六十百分位数，则二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的常数项是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
其展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．20C． SKIPIF 1 < 0 D．15
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2023下·山东滨州·高二统考期中）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为40，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为40，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B．
5．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
6．（2023下·四川资阳·高二统考期末） SKIPIF 1 < 0 展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项B．第6，7项C．第6项D．第7项
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.
故选：D.
7．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．31B．1023C．1024D．32
【答案】B
【详解】由二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 为正数，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 为负数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
8．（2023上·全国·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
二、多选题
9．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能取值为6
B．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能取值为7
C．在 SKIPIF 1 < 0 的二项式展开式中，常数项是84
D．在 SKIPIF 1 < 0 的二项式展开式中，常数项是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】对于选项A和选项B，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故A错误，B正确；
对于选项C和选项D，
根据二项展开式的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正确、D错误.
故选：BC.
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确.
SKIPIF 1 < 0 ，其展开式的第三项是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确.
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.
故选：AC
三、填空题
11．（2024上·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含x的项的系数为60，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2024上·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”， SKIPIF 1 < 0 ，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则 SKIPIF 1 < 0 年以后是 年.
【答案】丙午
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 年以后地支为“午”.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 除以10余数为3，所以 SKIPIF 1 < 0 年以后天干为“丙”，
故 SKIPIF 1 < 0 年以后是丙午年.
故答案为：丙午
四、解答题
13．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.（结果可以用幂指数表示）
【答案】(1)11
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）中通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 大于0， SKIPIF 1 < 0 小于0，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2024上·吉林·高二校联考期末）己知 SKIPIF 1 < 0 的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 .则常数项为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 中取3时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中取含 SKIPIF 1 < 0 的项，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 中取 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中取含 SKIPIF 1 < 0 的项，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
2．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的各项系数之和为1，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．（2023·新疆·校联考一模）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末） SKIPIF 1 < 0 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （或者写成6561）
【详解】因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由组合数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项系数和，
所以，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （或者写成6561）.
5．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）利用等式 SKIPIF 1 < 0 可以化简： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；类比上述方法，化简下式： SKIPIF 1 < 0 .
（3）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 总是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）证明见解析.
【详解】证明：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由组合数公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，故结论成立；
解：（2）因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 总是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数.课程标准
学习目标
①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。
②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。
③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。
④理解二项式系数的性质。
⑤会用赋值法求展开式系数的和。
1.要求能运用二项式定理求解二项展开式；
2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数；
3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题；
4.能理解二项式系数的性质；
5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.