重庆市开州中学2024届高三下学期全国卷模拟考试（一）数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的单调性化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】由题可得或
因此．
故选：D．
2. 已知复数且有实数根b，则=（ ）
A. B. 12C. D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解.
【详解】由题意知为的实数根，
则，即，
则，解得，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
3. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，
【详解】设表高为，则，，
而，得，，
故，
得，
故选：D
4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.
【详解】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，
，
故选：A
5. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.
【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，
于是，
因此，
当且仅当时取等号，则，即，离心率，
所以双曲线离心率的最小值为.
故选：D
6. 在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（ ）
A. 26B. 63C. 57D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】计算，分析的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得的递推关系，求出前5项，计算求和即可.
【详解】因为，
所以，由题意可知：有唯一零点.
令，可知为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为0，即，代入化简可得：，
又，所以，，，，所以.
故选：C
7. 已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A. 斜率为2B. 斜率为C. 恒过点D. 恒过点
【答案】D
【解析】
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
8 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】由，
由，
．
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为2
B. 曲线的方程为
C. 圆与曲线有两个交点
D. 若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线与圆相切，结合正切的和差角公式即可求解A，根据向量关系，代入坐标运算即可求解B，根据两圆圆心距离与半径的关系即可判断C，根据三点共线即可求解D.
【详解】对于A，当直线与圆在第一象限相切时，（如图）此时最大，进而最大，
由于圆：的圆心，半径，故,因此,,故A错误，
对于B，设，则，由于圆：上，代入可得：，故B错误，
对于C，由于曲线的方程为，为圆心为，半径为的圆，故两圆圆心距离为，故两圆相交，因此有两个交点，故C正确，
对于D，由于，当且仅当三点共线时，如图, 故最大值为,故D正确，
故选：CD
10. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 是周期函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意分别求出，，则，，从而可对A判断求解，利用换元法令可对B判断求解，由求出，并结合从而可对C判断求解，由可对D判断求解.
【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，，
则，，
对A：，故A正确；
对B：，令，
所以，故B错误；
对C：，解得，
又由，故C正确；
对D：，因为为周期函数，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则( )
A. 的图象关于对称B. 4是的一个周期
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.
对B：令,由及可得到的图象于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期.
对C：举例说明.
对D：由的周期性求得的值.
【详解】对A：因为关于对称,有，
令，则，的图象关于对称.选项A正确；
对B：由题设条件得，
令，有，则图象于对称，
因为，有，
即，则的图象关于对称.
所以，又，所以，
所以，所以，
所以4为的一个周期，即，
则.选项B不正确；
对C：由上知图象关于对称，对称，
则令符合题意，而.故C不正确;
对D：因为图象关于对称，所以，
故，有.选项D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题也转化为的求值问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.
【详解】由题意知11个零件的平均数为，
第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，
由题可知众数为45，
所以当从11中取出3个零件共有种情况，
则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况，
所以其概率为，
故答案为：.
13. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先分析题意，取为的中点，结合题意找出等腰梯形为所得截面，再求出等腰梯形的面积即可.
【详解】
如图所示，取，连接，易知面，
而面，故，连接，且显然成立，
由已知得，故，则，
而，面，
所以平面，且面，所以，
取为的中点，，则且，
，面，
所以平面，因为平面，，同理可得，
所以等腰梯形为所得截面，
又，
作，显然，则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为．
故答案为：12
14. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望________.（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】一方面：利用已知条件求出，进一步推出，另一方面得出，由此可求出，进一步由期望公式即可求解.
【详解】一方面：由题意可知：，，
则；．
另一方面：由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：时，，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记，分别为数列，的前项和，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）由已知，可得 的关系，从而可得数列是等比数列，求出通项公式；由，将代入，可得为等差数列，再由可得的通项公式.
（2）由（1），将的通项公式代入，从而得到，求出整数的最小值．
【小问1详解】
当时，，所以，
当时，，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，
因为，所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列，
所以，所以，
因为，而，所以，
所以，.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，
当时，因为，
所以，
其中，当时，，，无限接近，
所以整数的最小值为3．
16. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：，，，
（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；
【答案】（1）
（2）列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意可求出，，从而可求解.
（2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关.
【小问1详解】
由题意得，
则，
所以.
【小问2详解】
设零假设为：是否报废与是否保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，
补充列联表如下：
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，
此推断的错误概率不大于0.01.
17. 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于．
（1）当时，求点的轨迹长度；
（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长；
（2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可.
【小问1详解】
作交于，
因为平面平面，且平面平面，面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，且平面，所以，
因为，，、平面，，
所以平面，又因为平面，所以．
分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设，因为，所以，
又，，
所以，即，
设中点为，则，如图：
又，所以，
因此，的轨迹为圆弧，其长度为；
【小问2详解】
由（1）知，可设，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令得．
为平面的一个法向量，令二面角为角，
，又，
解得，（舍去）或，，
则或，
从而可得三棱锥的体积．
18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．
（1）求椭圆W的方程；
（2）已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值．
【答案】（1） （2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，从而求出，即可求解.
（2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.
【小问1详解】
由题意知，解得，
由长轴长是短轴长的2倍，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在，这的方程为，，
因为，故可设方程为，
由，得，
则，，，
所以，
同理，
因为，所以，因为，所以，
所以，
当且仅当时，平行四边形取得最大值为4.
当直线的斜率不存在时，此时平行四边形为矩形，设，易得，
又因为，所以，当且仅当时取等.
综上所述：平行四边形的面积的最大值为4.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意Δ的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；
（2），理由见解析
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分析题意，根据参数的不同范围，含参利用导数讨论单调性即可.
（2）根据（1）可知，当时，，，代值进行比较即可.
（3）设，则，分不同情况讨论，利用放缩法结合裂项相消法证明不等式即可.
【小问1详解】
易知．
①．
当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减；
②．当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，，
取，，则有，
即，所以；
【小问3详解】
证明：设，则，
所以在上单调递增，所以，
即当时，，
结合（1）可知，，
当时，成立，
当时，因为，所以
即．
综上所述，．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是合理运用放缩法，然后再利用裂项相消法求和，得到所要求的不等关系即可．
飞行距离x（kkm）
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数y（个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100