安徽省合肥一六八中学2024届高三下学期检测（一）数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中正确的是
A. 圆锥的轴截面是等边三角形
B. 用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
C. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成
D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
3. 在中，若，且，则面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 中，点D满足，点E满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）
A. B. C. D.
6. 一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
7. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
8. 已知的内角A，B，C满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，若，则的取值不可能是（ ）
A. 7B. C. 8D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是复数，下列说法正确的是
A. B. 若，则或
C. D. 若，则
10. 的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则符合条件有两个
11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分．
12. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点且，则______．
13. 已知复数z满足，则的最小值为______．
14. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）
16. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、.
17. 如图：在中，已知与交于点．

（1）用向量表示向量；
（2）过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长．
18. 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点B在弧上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；
（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值．
19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
（1）若函数的对称中心为，求函数的解析式．
（2）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．
①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值；
②若，函数的零点分别为，求的值.