人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用（2份打包，原卷版+教师版）

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第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用知识点01：二项式系数的性质①各二项式系数和：  SKIPIF 1 < 0 ；②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： SKIPIF 1 < 0 知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：①每一行都是对称的，且两端的数都是1②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．③当 SKIPIF 1 < 0 时，二项式系数是逐渐变大的；当 SKIPIF 1 < 0 时，二项式系数是逐渐变小的．(4)当 SKIPIF 1 < 0 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．题型01二项展开式的系数问题【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 与xy两项的系数相等，则n的值为 .【答案】51【详解】解：由题意得： SKIPIF 1 < 0 .其中 SKIPIF 1 < 0 项，仅出现在求和指标r=4时的展开式 SKIPIF 1 < 0 中，其 SKIPIF 1 < 0 项系数为 SKIPIF 1 < 0 ；而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式 SKIPIF 1 < 0 中，其xy项系数为 SKIPIF 1 < 0 .因此有 SKIPIF 1 < 0 .注意到n>4，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，故答案为：51.【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】要得到 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含有 SKIPIF 1 < 0 的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“ SKIPIF 1 < 0 ”，然后在后面四个括号中选取3个“ SKIPIF 1 < 0 ”和1个“ SKIPIF 1 < 0 ”，由分步乘法计数原理可知此时“ SKIPIF 1 < 0 ”的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；情形二：先在第一个括号中选取“ SKIPIF 1 < 0 ”，然后在后面四个括号中选取2个“ SKIPIF 1 < 0 ”和2个“ SKIPIF 1 < 0 ”，由分步乘法计数原理可知此时“ SKIPIF 1 < 0 ”的系数为 SKIPIF 1 < 0 .综上所述：由分类加法计数原理可知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【典例3】（2017·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 (n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项．【答案】T2＝－16 SKIPIF 1 < 0 【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即可.试题解析：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，解得n＝8(n＝－3舍去)．所以通项为Tr＋1＝C ()8－r·r＝C (－2)r· SKIPIF 1 < 0 .令＝，得r＝1.    ∴展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为T2＝－16 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .【答案】 9  SKIPIF 1 < 0 【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由二项展开式的通项公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 由9个 SKIPIF 1 < 0 连乘得到，要得到含 SKIPIF 1 < 0 的项，有两种情形：①这9个式子中：8个式子中取 SKIPIF 1 < 0 ，剩下的1个式子中取 SKIPIF 1 < 0 ；②这9个式子中：7个式子中取 SKIPIF 1 < 0 ，剩下的2个式子中取1.故含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：9，-18.【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以第3项的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ，第4项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .题型02杨辉三角的有关问题【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（    ）  A．第 SKIPIF 1 < 0 行的第 SKIPIF 1 < 0 个位置的数是 SKIPIF 1 < 0 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列C．70在杨辉三角中共出现了3次D．210在杨辉三角中共出现了6次【答案】BCD【详解】对于A选项：第 SKIPIF 1 < 0 行的第 SKIPIF 1 < 0 个位置的数是 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；对于B选项：由题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 是奇数项且为奇数，这与 SKIPIF 1 < 0 情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；由于 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，无正整数解，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 递增，从而无解；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 共出现3次，C正确；类似于前 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的下方三角形区域中的数都大于 SKIPIF 1 < 0 ,D正确.故选：BCD【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数， SKIPIF 1 < 0 ）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】BCD【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为 SKIPIF 1 < 0 ，第10行的第二个数为 SKIPIF 1 < 0 ，于是得第10行的第三个数为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；对于D， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：BCD【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第 SKIPIF 1 < 0 行的各数就是 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式系数.则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.【答案】 4 8【详解】由杨辉三角可得如下表：第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个； 第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个； 第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个； 第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个； SKIPIF 1 < 0 第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；故答案为：4；8.【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（2）已知n，r为正整数，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：任何四个相邻的组合数 SKIPIF 1 < 0 不能构成等差数列.【答案】（1）存在，是第 SKIPIF 1 < 0 行；（2）证明见解析.【详解】（1）假设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故在杨辉三角形中的第 SKIPIF 1 < 0 行的第 SKIPIF 1 < 0 个数之比为 SKIPIF 1 < 0 .（2）假设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 够成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，由组合数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据等差数列的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立，所以假设不成立，即任何四个相邻的组合数 SKIPIF 1 < 0 不能构成等差数列.【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 SKIPIF 1 < 0 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 SKIPIF 1 < 0 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+            例如第 SKIPIF 1 < 0 行的 SKIPIF 1 < 0 为第 SKIPIF 1 < 0 行中两个 SKIPIF 1 < 0 的和．则下列命题中正确的是(    )A．在“杨辉三角”第 SKIPIF 1 < 0 行中，从左到右第 SKIPIF 1 < 0 个数是 SKIPIF 1 < 0 B．在“杨辉三角”中，当 SKIPIF 1 < 0 时，从第 SKIPIF 1 < 0 行起，每一行的第 SKIPIF 1 < 0 列的数字之和为 SKIPIF 1 < 0 C．在“杨辉三角”中，第 SKIPIF 1 < 0 行所有数字的平方和恰好是第 SKIPIF 1 < 0 行的中间一项的数字D．记“杨辉三角”第 SKIPIF 1 < 0 行的第 SKIPIF 1 < 0 个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 【答案】ABC【详解】对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，从第 SKIPIF 1 < 0 行起，每一行的第 SKIPIF 1 < 0 列的数字之和为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C，在“杨辉三角”中，第 SKIPIF 1 < 0 行所有数字的平方和恰好是第 SKIPIF 1 < 0 行的中间一项的数字，即 SKIPIF 1 < 0 ，证明如下： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 项相乘即可得到 SKIPIF 1 < 0 这一项的系数为： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数(即 SKIPIF 1 < 0 的系数)，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D，第 SKIPIF 1 < 0 行的第 SKIPIF 1 < 0 个数为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．故选：ABC．【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线 SKIPIF 1 < 0 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： SKIPIF 1 < 0 ，记此数列的前 SKIPIF 1 < 0 项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .【答案】452【详解】设数列为{ SKIPIF 1 < 0 }，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，易知 SKIPIF 1 < 0 ；前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以偶数项之和为： SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以前23项里面奇数项和为： SKIPIF 1 < 0  = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =364，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：452.【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中（其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 叫做项式系数），当 SKIPIF 1 < 0 ，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为75，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 ；（2） SKIPIF 1 < 0  （可用组合数作答）.【答案】 2  SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，根据二项式定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 可视为二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数，而二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：2； SKIPIF 1 < 0 ．【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在 SKIPIF 1 < 0 三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 . SKIPIF 1 < 0 【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】将数阵倒置，计第 SKIPIF 1 < 0 行第 SKIPIF 1 < 0 个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则倒置后的数阵为： SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .依此类推 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故答案为 SKIPIF 1 < 0 .题型03求二项展开式中的系数最大项问题【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 第6项的系数最大， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2022·上海·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，系数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  .【答案】12【详解】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最大值 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 展开式的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，当满足 SKIPIF 1 < 0 时，系数最大.即 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 时，系数的最大值为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 故答案为：12【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．（1）求 SKIPIF 1 < 0 展开式的中间项；（2）求 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的最大值．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）7．【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 展开式的中间项是 SKIPIF 1 < 0 （2）设 SKIPIF 1 < 0 最大，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或6所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式 SKIPIF 1 < 0 ．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求二项式的值被7除的余数．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）2.【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 二项式 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数之和为512， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，展开式中系数最大的项为第8项，为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 问题转化为 SKIPIF 1 < 0 被7除的余数， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即余数为2．【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中（    ）A．常数项为 SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【答案】BCD【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，对于A：令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；对于B：令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C：由通项公式可得：第 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；取 SKIPIF 1 < 0 为偶数，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以系数最大项为第3项，故C正确；对于D：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以有理项共有5项，故D正确；故选：BCD.【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为正整数，在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ，展开式中第 项的系数最大.【答案】 12 11【详解】（1）根据题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 .（2）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .设二项式的展开式中第 SKIPIF 1 < 0 的系数最大，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴展开式中第11项的系数最大.【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)第3项或第4项.【详解】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，由组合数的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.（2）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.【答案】（1）-13；（2） SKIPIF 1 < 0 【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得， SKIPIF 1 < 0 ；（2）令 SKIPIF 1 < 0 可得各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  （舍去），解得 SKIPIF 1 < 0 ．设第 SKIPIF 1 < 0 项的系数最大，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．故系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ．题型04二项式定理的应用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从 SKIPIF 1 < 0 这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为 SKIPIF 1 < 0 ,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的后两位数字为（    ）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计98个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计96个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计94个, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计4个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计2个,故 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ,当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计97个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计94个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计91个, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计4个,当 SKIPIF 1 < 0 时,数列可为: SKIPIF 1 < 0 共计1个,故 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的后两位与 SKIPIF 1 < 0 的后两位一致, SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 的后两位一定是00,故 SKIPIF 1 < 0 的后两位数与 SKIPIF 1 < 0 的后两位一致,因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的后两位数为49,即 SKIPIF 1 < 0 的后两位数为49.故选:C【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于 SKIPIF 1 < 0 ，将n表示为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为0或1.记 SKIPIF 1 < 0 为上述表示中 SKIPIF 1 < 0 为0的个数，（例如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为整数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，即有 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ；其中有一个为1时，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，即有 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ；其中有2个为1时，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，即有 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ；…故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为: SKIPIF 1 < 0 ．【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列 SKIPIF 1 < 0 .对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则称数列 SKIPIF 1 < 0 是互斥数列.(1)若数列 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否是互斥数列，说明理由；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立；(3)若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是正整数)， 试确定 SKIPIF 1 < 0 满足的条件，使 SKIPIF 1 < 0 是互斥数列.【答案】(1)是互斥数列，理由见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 中只有首项为1，其余均为偶数， SKIPIF 1 < 0 均为大于1的奇数，故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 是互斥数列；（2）证明：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是互斥数列，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的公差分别为 SKIPIF 1 < 0 ，因为数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 都为正整数，取 SKIPIF 1 < 0 ，所以, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，存在无穷多组正整数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，证毕.（3）解：由于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互斥数列，所以 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，（i）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 成立即可，（ii）若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 都为 SKIPIF 1 < 0 的倍数，此时 SKIPIF 1 < 0 是互斥数列，满足题意，（iii）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，下面我们证明 SKIPIF 1 < 0 除以3的余数为1， SKIPIF 1 < 0 由二项式定理，展开得 SKIPIF 1 < 0 ，所以,  SKIPIF 1 < 0 除以3的余数为1所以 SKIPIF 1 < 0 是互斥数列，满足题意，综上， SKIPIF 1 < 0 满足的条件是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 成立；或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，又根据泰勒展开式可以得到 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，根据以上两式可求得 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时除以x，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．【变式2】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的2次迭代函数， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的3次迭代函数，…，依次类推， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的n次迭代函数，则 SKIPIF 1 < 0  ； SKIPIF 1 < 0 除以17的余数是 ．【答案】  SKIPIF 1 < 0  0【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 为正整数，所以 SKIPIF 1 < 0 除以17的余数为0，故答案为：  SKIPIF 1 < 0 【变式3】（2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 表示x除以3的余数，求 SKIPIF 1 < 0 ．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)2【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得： SKIPIF 1 < 0  ，即 SKIPIF 1 < 0  ，又 SKIPIF 1 < 0 ,适合上式，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0  ，而 SKIPIF 1 < 0  ，适合上式，故 SKIPIF 1 < 0  ；（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .