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山东省实验中学2024届高三下学期4月第一次模拟考试 数学 Word版含解析
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这是一份山东省实验中学2024届高三下学期4月第一次模拟考试 数学 Word版含解析，共8页。
2024.4
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡．上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，是三个不同的平面，，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
2．若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ）
A．48B．36C．24D．12
5．函数，则的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．2D．
7．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且与直线相交所得的弦长为，且，则（ ）
A．B．1C．2D．3
8．已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
B．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
C．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强
D．若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有最小值为D．在上有唯一零点
11．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点（异于点A），且，则（ ）
A．存在点M，使得平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为
C．当时，三棱锥的体积最大值为
D．当时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列的前n项和为，且，，则数列的公比__________．
13．已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为__________．
14．如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．
（1）求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说晛理由．
16．（15分）
已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥．
（1）若点F在线段AP上，且平面PBC，求的值；
（2）若平面平面ABCE，求平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值．
17．（15分）
已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，求a的取值范围．
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，点D为上一动点，点A，B分别在x轴，y轴上且轴，轴，若，点W的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点的直线l与C交于M，N两点，若点，直线GH为的角平分线，求直线l的方程．
19．（17分）
如果数列满足：且（，），则称数列为“n阶数列”．
（1）若某“4阶数列”是等比数列，求该数列的各项；
（2）若某“11阶数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为“n阶数列”，求证：．
山东省实验中学2024届高三第一次模拟考试
数学参考答案
2024.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，，
故．
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，
则，，，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
16．【解析】
（1）作，交PB于M，易得M，F，E，C四点共面，
平面PBC，平面平面，平面EFMC，，
四边形EFMC为平行四边形，，，
由可得．
（2）因为为等腰直角三角形，取AE中点O，则，即．
又因为平面平面ABCE，平面平面，平面APE，所以平面ABCE．
以O为坐标原点，OA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，则，，
设平面PEC的法向量为，则，
不妨取，则，，，
设平面ECA的一个法向量为，则，
则平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值为．
17．【解析】
（1）当时，，，则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2），所以，
设，令，由于有两个极值点，，
所以，解得．
由，，
得
，
即，令，，
所以在上单调递减，且，
所以，故a的取值范围是．
18．【解析】
（1）设，，则，，
由，得，所以，
因为，得，故曲线C的方程为．
（2）设点，，由题意，易得直线l的斜率不为0，
设直线，与联立，得，
由根与系数的关系得，；恒成立，
由GH为的角平分线知，即，
又，则，整理得，
化简得，所以，所以直线l的方程为，即．
19．【解析】
（1）设，，，成公比为q的等比数列，显然，
则由，得，解得，
由，得，解得，
所以数列，，，或，，，为所求“4阶数列”．
（2）设等差数列，，，…，的公差为d，
由，得，所以，即．
①当时，与“11阶数列”的条件相矛盾．
②当时，由，，得，，
所以（，）．
③当时，由，，得，，
所以（，）．
综上，（，）．
（3）由已知可得，必有，也必有．
设，，…，为所有中所有大于0的数，，，…，为所有中所有小于0的数．
由已知得，．
所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
D
B
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BC
2024.4
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡．上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，是三个不同的平面，，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
2．若，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ）
A．48B．36C．24D．12
5．函数，则的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．2D．
7．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且与直线相交所得的弦长为，且，则（ ）
A．B．1C．2D．3
8．已知数列的前n项和，将依原顺序按照第n组有项的要求分组，则2024所在的组数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
B．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
C．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的线性相关程度更强
D．若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有最小值为D．在上有唯一零点
11．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点（异于点A），且，则（ ）
A．存在点M，使得平面PAB
B．存在点M，使得直线PB与AM所成角为
C．当时，三棱锥的体积最大值为
D．当时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列的前n项和为，且，，则数列的公比__________．
13．已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为__________．
14．如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．
（1）求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说晛理由．
16．（15分）
已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥．
（1）若点F在线段AP上，且平面PBC，求的值；
（2）若平面平面ABCE，求平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值．
17．（15分）
已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，求a的取值范围．
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，点D为上一动点，点A，B分别在x轴，y轴上且轴，轴，若，点W的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点的直线l与C交于M，N两点，若点，直线GH为的角平分线，求直线l的方程．
19．（17分）
如果数列满足：且（，），则称数列为“n阶数列”．
（1）若某“4阶数列”是等比数列，求该数列的各项；
（2）若某“11阶数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为“n阶数列”，求证：．
山东省实验中学2024届高三第一次模拟考试
数学参考答案
2024.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，，
故．
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，
则，，，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
16．【解析】
（1）作，交PB于M，易得M，F，E，C四点共面，
平面PBC，平面平面，平面EFMC，，
四边形EFMC为平行四边形，，，
由可得．
（2）因为为等腰直角三角形，取AE中点O，则，即．
又因为平面平面ABCE，平面平面，平面APE，所以平面ABCE．
以O为坐标原点，OA为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，则，，
设平面PEC的法向量为，则，
不妨取，则，，，
设平面ECA的一个法向量为，则，
则平面PEC和平面ABCE夹角的余弦值为．
17．【解析】
（1）当时，，，则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2），所以，
设，令，由于有两个极值点，，
所以，解得．
由，，
得
，
即，令，，
所以在上单调递减，且，
所以，故a的取值范围是．
18．【解析】
（1）设，，则，，
由，得，所以，
因为，得，故曲线C的方程为．
（2）设点，，由题意，易得直线l的斜率不为0，
设直线，与联立，得，
由根与系数的关系得，；恒成立，
由GH为的角平分线知，即，
又，则，整理得，
化简得，所以，所以直线l的方程为，即．
19．【解析】
（1）设，，，成公比为q的等比数列，显然，
则由，得，解得，
由，得，解得，
所以数列，，，或，，，为所求“4阶数列”．
（2）设等差数列，，，…，的公差为d，
由，得，所以，即．
①当时，与“11阶数列”的条件相矛盾．
②当时，由，，得，，
所以（，）．
③当时，由，，得，，
所以（，）．
综上，（，）．
（3）由已知可得，必有，也必有．
设，，…，为所有中所有大于0的数，，，…，为所有中所有小于0的数．
由已知得，．
所以．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
D
B
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BC
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