2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷9（学生版+解析版）

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一、单选题
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x2−3<0}，则A∩B=（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
2．下列运算错误的是（ ）
A．a3+a3=2a6B．a6÷a-3=a9
C．a3·a3=a6D．（-2a2）3=-8a6
3．已知 sin2α>0 ，则（ ）
A．tanα>0B．sinα>0C．csα>0D．cs2α>0
4．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．AB+BC=CAB．AB−AD=BD
C．AB+AD=ACD．BC+CD=BD
5．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．0.2B．0.35C．0.5D．0.4
7．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）
A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1CB．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB
9．某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A．8 万元B．10 万元C．12 万元D．15 万元
10．“x>1”是“lg12(x+2)<0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
11．若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（ ）
A．−πB．−π2C．π4D．2π
12．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（ ）
A．25B．252C．254D．258
13．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
14．在△ABC中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 a=52b ， A=2B ，则 csB= ( )
A．53B．54C．55D．56
15．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）.
A．A与C互斥B．B与C互斥
C．任两个均互斥D．任两个均不互斥
二、填空题
16．已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a +2 b |= .
17．函数f（x）=x2-2（a-1）x+2在区间(−∞，1]上是减函数，则实数a的范围是
18．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，则圆柱的体积为 ．
19．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c2=(a+b)2−4，C=2π3，则ΔABC的面积为 .
三、解答题
20．某班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动.
（1）求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率.
21．已知函数f(x)=3sin2x−cs2x.
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间.
22．已知Rt△ABC的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
（1）BC⊥平面PAC；
（2）PB⊥平面AMN.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】∵A={1，2，3，4}，B={x|x2−3<0}={x|−3∴A∩B={1，2，3，4}∩{x|−3故答案为：A
【分析】首先通过解二次不等式确定集合B范围，然后根据集合交集运算定义进行求解即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】a3+a3=2a3，A的运算错误；
a6÷a−3=a6−(−3)=a9，B的运算正确；
a3⋅a3=a3+3=a6，C的运算正确；
(−2a2)3=(−2)3⋅(a2)3=−8a6，D的运算正确；
运算错误的是A，
故答案为：A
【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项.
3．【答案】A
【解析】【解答】由 sin2α>0 可得 2sinαcsα>0 ，即 sinα与csα 同号，
又 tanα=sinαcsα ，∴tanα>0
故答案为：A
【分析】利用二倍角正弦公式可知 sinα与csα 同号，又 tanα=sinαcsα ，从而得到结果.
4．【答案】D
【解析】【解答】根据三角形法则可得AB+BC=AC，所以A不符合题意；
根据向量减法的运算法则可得AB−AD=DB，所以B不符合题意；
四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB+AD=AC，C不符合题意；
根据三角形法则可得BC+CD=BD正确，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.
5．【答案】C
【解析】【解答】若100个数据全为9.3，满足题意，但不满足A，A不符合题意；
当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.B判断错误；
把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数.
则C判断正确，D判断错误.
故答案为：C
【分析】举反例否定选项AB；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.
6．【答案】B
【解析】【解答】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件A={抽到一等品}，且P(A)=0.65，
于是得1−P(A)=1−0.65=0.35，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故答案为：B
【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.
7．【答案】C
【解析】【解答】A选项在 R 上是增函数；B选项在 (−∞,0] 是减函数，在 [0,+∞) 是增函数；C选项在 (−∞,0),(0,+∞) 是减函数；D选项 y=2x2+x+1=2(x+14)2+78 在 (−∞,−14] 是减函数，在 [−14,+∞) 是增函数；
故答案为：C.
【分析】由已知利用函数单调性的定义，分别判断各选项中函数的单调性，即可得结果.
8．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1，AD1⊥平面A1DB1.
故答案为：B
【分析】由题意逐一考查直线与所给平面的位置关系即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为 30.1=30 （万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为 0．4×30=12 万元．
故答案为：C
【分析】利用实际问题的已知条件结合频率分布直方图，用频率、频数和样本容量的关系式求出 11时至12时的销售额。
10．【答案】A
【解析】【解答】当x>1时，x+2>3>1，又因为y=lg12x是(0，+∞)上的减函数，所以lg12(x+2)1⇒lg12(x+2)<0；当lg12(x+2)<0时，x+2>1，即x>−1，则lg12(x+2)<0⇒x>1.故“x>1”是“lg12(x+2)<0”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用对数函数单调性解不等式，即可判断.
11．【答案】B
【解析】【解答】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).
∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z.
当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.
当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2，k∈Z，
若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，A不符合题意；
若φ=kπ+π2=−π2，解得k=−1∈Z，B符合题意；
若φ=kπ+π2=π4，解得k=−14∉Z，C不符合题意；
若φ=kπ+π2=2π，解得k=32∉Z，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2，，k∈Z，结合选项可确定答案.
12．【答案】D
【解析】【解答】a>0，b>0，a＋2b＝5
而ab=12a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2=258，当且仅当a=52， b=54时取等号
故答案为：D
【分析】由a>0，b>0知，结合基本不等式有ab=12a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2，又a＋2b＝5即可求最大值.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a= 12
∴y=x ，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．
故选C
【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
14．【答案】B
【解析】【解答】∵在 △ABC 中 a=52b ，∴由正弦定理，可得 sinA=52sinB①，又∵A=2B ，∴sinA=sin2B=2sinBcsB②，由①②可得 52sinB=2sinBcsB ，可得 csB=54 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式，从而求出角B的余弦值。
15．【答案】B
【解析】【解答】A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，
C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：A与C是包含关系，不是互斥事件，B与C是互斥事件，
故答案为：B.
【分析】对事件A，B，C进行分析，根据互斥事件的概念分析即可.
16．【答案】23
【解析】【解答】∵平面向量a→与b→的夹角为600，|a→|=2，|b→|=1
∴a→⋅b→=2×1×cs600=1.
∴|a→+2b→|=(a→+2b→)2=a→2+4a→⋅b→+(2b→)2=4+4+4=23
故答案为 23.
【分析】先结合向量的数量积运算求得 a→⋅b→=1，再根据向量的求模公式|a→+2b→|=(a→+2b→)2即可求解.
17．【答案】[2，+∞）
【解析】【解答】函数f（x）图像的对称轴为直线x=a-1.因为f（x）在区间(−∞，1]上是减函数，所以(−∞，1]⊆(−∞，a−1]，得1≤a−1⇒a≥2.
故答案为：[2，+∞）.
【分析】函数f（x）图像的对称轴为直线x=a-1.因为f（x）在区间(−∞，1]上是减函数，所以1≤a−1，求解即可.
18．【答案】2π
【解析】【解答】设圆柱的底面半径为r，则2πr×2r=4π，解得r=1，所以该圆柱的体积为π×12×2=2π.
故答案为：2π.
【分析】利用圆柱的侧面积公式可以求出圆柱底面圆的半径，然后代入圆柱的体积公式即可.
19．【答案】3
【解析】【解答】∵c2=(a+b)2−4=a2+2ab+b2−4∴csC=a2+b2−c22ab=4−2ab2ab=−12，解得：ab=4∴SΔABC=12absinC=2sin2π3=3
故答案为：3
【分析】利用已知等式和余弦定理可构造方程求得ab=4，代入三角形面积公式可求得结果.
20．【答案】（1）解：设从该班男生、女生中抽取的人数分别为x，y，则x=545×27=3，y=545×18=2
∴从该班男生、女生中抽取的人数分别为3，2
（2）解：记参加活动的3名男生分别为a1，a2，a3，2名女生分别为b1，b2
则随机抽取2名学生的所有基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，
(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个
记“2名学生均为女生”为事件A，则事件A包含的基本事件只有1个：(b1，b2)
∴P(A)=110
【解析】【分析】（1）根据分层抽样的基本原则可计算求得结果；
（2）列举出随机抽取2名学生的所有基本事件，从中找到2名学生均为女生的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
21．【答案】（1）解：f(x)=2(32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6).
∵ω=2，∴T=2π2=π
即函数f(x)的最小正周期为π.
∵−1≤sin(2x−π6)≤1，
即−2≤2sin(2x−π6)≤2，
则f(x)的最大值为2.
（2）解：令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z.
【解析】【分析】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值；
（2） 令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z.
22．【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC，
又AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
（2）证明：由（1）知BC⊥平面PAC，
∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN⊂平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.
【解析】【分析】（1）由题意可证得PA⊥BC，BC⊥AC，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明.