押题预测卷03-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷（新高考九省联考题型）

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2、锻炼同学的考试心理，训练学生快速进入考试状态。高考的最佳心理状态是紧张中有乐观，压力下有自信，平静中有兴奋。
3、训练同学掌握一定的应试技巧，积累考试经验。模拟考试可以训练答题时间和速度。高考不仅是知识和水平的竞争，也是时间和速度的竞争，可以说每分每秒都是成绩。
4、帮助同学正确评估自己。高考是一种选拨性考试，目的是排序和择优，起决定作用的是自己在整体中的相对位置。因此，模拟考试以后，同学们要想法了解自己的成绩在整体中的位置。
决胜2024年高考数学押题预测卷03
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量，，，
.
故选：B.
2．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：，
所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；
故选：D.
3．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，所以.
故选：C
4．已知样本数据的平均数为，则数据（ ）
A. 与原数据的极差不同B. 与原数据的中位数相同
C. 与原数据的方差相同D. 与原数据的平均数相同
【答案】D
【解析】由样本数据的平均数为，可得，
其方差为，
对于数据，其平均数，
其方差；
即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；
由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误；
对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.
故选：D
5．在梯形中，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：
其中圆柱与圆锥的底面半径都等于，
圆柱的高等于，圆锥的高等于，
底面圆的面积为，
圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以所得几何体的体积为．
故选：B.
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ，互斥B. C. D.
【答案】C
【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
故选：C.
7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
8．双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是的中点．
根据双曲线的定义可知，即，由于O是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，
所以双曲线C的方程为
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，得，
又T在C：上，则，即，解得，，
所以，故，即距离之和为
故选:A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数是关于x的方程的两根，则（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】解： ， ，
不妨设 ， ，
则 ，故A正确；
由选项A可知， ，C正确；
由韦达定理得 ，
，
当 时， ，故B错；
当 时， ， ，
计算得 ，
同理可得 ，
结合B选项可知 ，同理可得 ，故D正确．
故选：ACD
10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A.
B.
C. 函数在上单调递增
D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
【答案】AD
【解析】令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A选项正确，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B错误.
当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，故C错误；
将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，故D正确.
故选：AD.
11．如图，正方体的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面内（含边界）一点，则（ ）
A. 若平面，则点P与点B重合
B. 以D为球心，为半径的球面与截面的交线的长度为
C. 若P为棱BC中点，则平面截正方体所得截面的面积为
D. 若P到直线的距离与到平面的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
【答案】ABC
【解析】正方体中，平面，平面，，
正方形中，，
平面，，则平面，
平面，，
同理，，
平面，， 平面，
若点P不与B重合，因为平面，则，与矛盾，
故当平面时，点P与B重合，故A正确；

，，三棱锥为正三棱锥，
故顶点D在底面的射影为的中心H，
连接DH，由，得，
所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，
所以球面与截面的交线是以H为圆心，为半径的圆在内部部分，
如图所示，，所以.
，所以，同理，其余两弦所对圆心角也等于，
所以球面与截面的交线的长度为，故B正确；

对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接、，
分别交侧棱于点N，交侧棱于点H，连接EH和NP，如图所示：

则截面为五边形，
，，
，，，
，故，
所以，，
所以五边形的面积，故C正确；
因为平面，平面，
所以，点P到直线的距离即点P到点的距离，
因为平面平面，故点P到平面的距离为点P到的距离，
由题意知点P到点的距离等于点P到的距离，
故点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线在侧面内的部分，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．
【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，
令，得，
故常数项为．
故答案为：.
13.在中，，，则__________；__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由，，可得；
所以可得，所以，即；
易知，，
由正弦定理可得；
故答案为：，
14.已知点A为抛物线上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上，，，若则的最小值为______，的最小值为______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】对于第一个空：
因为四边形为菱形，所以,,又由抛物线的定义知，，
所以,,
所以的方程为，
由联立得，，得，
由分析知，，所以,,,
,,,,
,，
又，所以,
，,
当时，取最小值3.
对于第二个空：
,,
表示的是点到点和的距离之和，
在直线上，设关于直线对称的点,
由得，所以，
，当且仅当三点共线时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：①3，②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设，曲线在点处取得极值.
求a；
求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）2 （2）单调递减区间和,单调递增区间,极大值为，极小值为
【解析】，则，
又，
故可得，
解得；
由可知，，，
令，解得，，
又函数定义域为，
故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.
故的极大值为，的极小值为
16．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面底面.
（1）求证：；
（2）若，且四棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）平面底面，平面底面，
底面是边长为2的菱形，，底面，
则有平面，又平面，所以.
（2）底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形，，，
平面底面，平面底面，
过点作的垂线，垂足为，则底面，
四棱锥的体积为2，则，
解得，则，
所以为中点，即为和交点，
，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面一个法向量，
则有，令，则，，即，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）
【解析】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
18．已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.
（1）若为定值，求的值，并说明理由；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）或; （2）
【解析】（1）由题意设，
当直线的斜率不为时，直线：，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，可得：，
所以
，
所以，
因为，所以，
要使为定值，则，所以或，
当直线的斜率为时，
因为直线与圆相切，所以， 即，
不妨取，
联立，可得,所以
所以，也符合上式.
（2）当时，由（1）可知，，
同理,即三点共线，
所以，
当直线的斜率不为时，由（1）可知：
所以，
因为，
所以，
令，
所以，
所以当时，有最小值为；
当时，有最小值为；
当直线的斜率为时，由（1）可知：
.
综上: 面积的取值范围.
19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故
1
2
3
P