山东省临沂市临沂商城实验学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】A．，故不是最简二次根式；
B．，故不是最简二次根式；
C．，故不是最简二次根式；
D．是最简二次根式．
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 5，12，13D. 7，24，25
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．
【详解】A．∵，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；
B．∵，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长；
C．∵，∴5，12，13能作为直角三角形的三边长；
D．∵，∴7，24，25能作为直角三角形的三边长．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据题意得出，是解题关键．
【详解】解：由题意得：，,
∵，
∴
即：
∴
故选：D．
4. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可．
详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
5. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长是（ ）

A. 4B. 3C. 3.5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断出，难度一般．
6. 如图，米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向左移（ ）
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；在直角C中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据，即可求得的长度．
【详解】解：在直角中，已知米，米，
则由勾股定理得（米）.
∵，
∴（米）.
∵在直角中，，且为斜边，
∴由勾股定理得（米），
∴（米）.
故选：C．
7. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接，点C到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，熟练掌握勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算是解题的关键．
如图，连接，取中点为，连接，设C点到的距离为，由勾股定理可得，，，，则是等腰三角形，，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，取中点为，连接，设C点到的距离为，
∴，，，，
∵，
∴是等腰三角形，，
∴，即，
解得，，
故选：D．
8. 如图，圆柱高，底面半径为，一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食，它爬行的最短路程（π取3）大约是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．
根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．
【详解】解：如图所示：
可以把和展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长，矩形的宽，
在直角三角形中，，
根据勾股定理得：．
故选：A．
9. 如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度：（），
此时h最小为：．
故h的取值范围是：．
故选：B．
10. 化简：的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：且，
即且，
解得：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点，点，则线段_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了两点之间的距离．利用两点之间的距离公式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴．
故答案为：5
13. 比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
14. 如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ___________．（可以用含根号的式子表示）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键．
先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案．
【详解】解：由勾股定理可得，，
则，
点表示的数是1，
，
点所表示的数为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】在中，，，在中，由勾股定理得，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
在中，，
由勾股定理得，
∴,
故答案为：5
【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为______ ．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有；故均有成立；所以原题可以转化为求的最小值问题，分析易得连接与，求得交点就是要求的点的位置；进而可得，可得答案．
【详解】解：连接，
正方形的对角线互相垂直平分，
无论P在什么位置，都有；
故均有成立；
连接与，所得的交点，即为的最小值时的位置，
如图所示：

此时，
正方形的边长为，
，
E是的中点，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简,完全平方公式应用．
（1）根据题意先去括号,再将每个二次根式化简进行运算即可;
（2）根据题意先利用完全平方公式对进行运算,再对进行有理化,先算乘法再算加减即可得到本题答案．
【小问1详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
【小问2详解】
解:,
,
,
,
,
故答案为:．
18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
（1）直接写出线段AC、CD、AD的长；
（2）求∠ACD的度数；
（3）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AC=，CD=，AD=5
（2）∠ACD=90°
（3）13
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理可求；
（2）根据勾股定理逆定理可判断；
（3）由S四边形ABCD=可求．
【小问1详解】
解：根据题意，得：
AC=，
CD=，
AD==5．
【小问2详解】
解：∵AC+CD=+=25=5=AD．
∴∠ACD=90°．
【小问3详解】
解：．S四边形ABCD==8+5=13．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键．
19. 如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据线段中点的定义可得，最后根据定理即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
．
分别是中点，
，
．
在和中，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、三角形全等的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
20. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且．延长交的延长线于点，连接．

（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：垂直平分，，
．
在中，，，，
，
，即．
【小问2详解】
解：是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
，
．
即的长为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21. 为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．

（1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据；
（2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？
【答案】（1）施工人员测量的是AC的距离，见解析
（2）12540元
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案；
（2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案．
【小问1详解】
施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则．
在中，，，
∴，
∴为直角三角形，且．
【小问2详解】
在中，，，
∴为直角三角形，且．
∴，
∴（元）．
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键．
22. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且．
（1）若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度；
（2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，
设，则，根据题意得，，结合勾股定理，即可求得；
由题意得和，可证，则有，即可求得，进一步求得点C距离地面的高．
【小问1详解】
解：设，则，
∵点A、B到地面的距离是分别是、，
∴，
则，
∵，，
∴，
∴，解得．
答：秋千的长度为．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
那么C距离地面的高．
答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的．
23. 如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c．
探究：
（1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理；
应用：
（2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】（1）①②（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理．
（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；
（2）利用等积法进行证明即可．
【详解】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为；
故答案为：；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式；
故答案为：；
（2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：，
∴，
∴．
24. 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．

探索证明
（1）如图1，设，，，，猜想，，，之间关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
变式思考
（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来：____________________．
拓展应用
（3）如图3，在长方形中，E为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由在4个直角三角形中利用勾股定理，从而可得结论；
（2）由，可得四边形是“垂美四边形”，可得，再分别表示这4条线段，即可得到答案．
（3）由，E为的中点，可得．设，则．表示．结合（1）得，即，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴四边形是“垂美四边形”．
由（1）知．
∵，是的中线，，
∴，，，
∴，即．
（3）∵，E为的中点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，三角形的中线的性质，理解新定义的含义并灵活运用结论解决问题是解题的关键．