四川省成都市双流区实外西区学校2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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A卷100分
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 某校九年1班期末考试数学的平均成绩是82分，小明得了90分，记作分，若小亮的成绩记作分，表示小亮得了（ ）分
A. 16B. 76C. 78D. 74
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查正数与负数的意义，正确地理解正数与负数的概念是解题的关键．由正负数的概念即可求解．
【详解】解：由题意得：分
小亮得了78（分），
故选：C．
2. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
3. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为8，则的面积为（ ）

A 12B. 16C. 18D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题．
【详解】解：与是位似图形，且位似中心为，，
，
，
，
．
故选：C．
4. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ）

A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．
【详解】∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的有关运算，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，多项式乘以多项式，正确熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，多项式乘以多项式，计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意，
故选：B．
6. 如图，，是上直径两侧的两点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠CAB，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵是的直径
∴
∠ABC＝35°
∠CAB＝55°
∴∠BDC＝∠CAB＝55°．
故选D
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论．
7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
B. 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图像经过点，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
8. 对称轴为直线的抛物线（a、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，y随x的增大而增大，⑤（m为任意实数）其中结论正确的个数为（ ）
A. 3B. 2C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故①错误；
②抛物线与轴有两个交点，
，
，故②正确；
③∵图像对称轴为直线，与x轴一个交点在和0之间，
则另一个交点在2和3之间，
∴当时，图像在x轴下方，即，
∴当时，，故③错误；
④∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小，故④错误；
⑤当时，取最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确；
即正确的结论有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
二、填空题（每小题4分，共20分，
9. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提公因式，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
10. 已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
根据，y随x的增大而减小这一性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴函数值y随着x的增大而减小，
而，
∴，
故答案为：．
11. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据“正多边形每个内角与它相邻外角的度数”之间的关系可求出其外角的度数，再根据“正多边形的每一个外角都相等且外角和是”进行 计算即可．
【详解】解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提．
12. 如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是___________
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理及等边三角形的判定及性质，连接，证明是等边三角形即可得解.
【详解】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，则点A的对应点的坐标是__________
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是位似图形，掌握位似图形的性质和分情况讨论是解题的关键．设 的位似图形为，根据和与点O的位置关系讨论，分别画出对应图形，分类讨论求解即可．
【详解】解：设 的位似图形为，
若和在点O的同侧，
∵点，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，
∴有 ， ，
的坐标是 ，
若和在点O的异侧，
点，以原点O为位似中心，相似比为3，把放大，
∴有 ， ，
的坐标是 ，
综上所述： 的坐标是或者．
故答案为：或．
二、解答题（共5个小题，共48分）
14. 计算及解方程
（1）计算
（2）解方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）分别求解各不等式后即可得解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
解不等式得，
解不等式得，
∴原不等式组的解集为．．
【点睛】本题考查了负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值，一元一次方不等式组的解法，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是A：6元；B：7元；C：8元；D：10元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题：
（1）求被抽查学生人数，并补全条形统计图；
（2）被抽查学生购买午餐费用的众数为__________元，中位数为____________元；
（3）若该校参加“午餐托管”的学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？
【答案】（1）50人，补全条形统计图见详解
（2）8，8 （3）280
【解析】
【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分比，求出7元的人数，从而补全统计图；
（2）根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校的总人数乘以购买10元午餐的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：被抽查的学生人数有：（人，
7元的人数有：（人，
补全统计图如下：
【小问2详解】
出现了19次，出现的次数最多，
众数是8元；
共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数，
中位数是：（元；
故答案为：8，8；
【小问3详解】
根据题意得：
（人，
答：估计购买10元午餐的学生有280人．
16. 如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪的高度为米，在水平线上点处测得建筑物最高点的仰角为，沿方向前进米，达到点处，测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，）
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到米，米，求得，设，得到，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：延长交于，
则四边形，四边形是矩形，
∴米，米，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
答：建筑物的高度约为米．
17. 如图，是的内接四边形，为直径，连接，且．
（1）求证：；
（2）过点B作于点E，延长交于点，若，，请补全图形并求的长．
【答案】（1）见详解 （2），补全图形见详解
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得到，根据垂径定理得到，则是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得解；
（2）根据题意补全图形，根据圆周角定理得出，，解直角三角形求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，延长交于点，
为的直径，
，
，
，
，
又∵过圆心，
，
是线段的垂直平分线，
；
【小问2详解】
补全图形如图，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
在中，，，
，
，
∵
，
，
在中，，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，熟记圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
（1）求k，b的值.
（2）当的面积为3时，求点P的坐标.
（3）设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）或，
【解析】
【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；
（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；
（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【小问1详解】
∵直线过点，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∵过点，
∴；
【小问2详解】
∵点P的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图1，
∵，，
∴
当是边，点D在x轴正半轴上，
作于F，作于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：，
∴，
∴，
当是对角线时，
当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：，
∴，
∴，
∴，
如图4，
，
∴，
∴，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述： 或，.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若是一元二次方程的两个实数根，则____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
则．
故答案为：．
20. 关于x，y的方程组的解中，x与y的和不小于4，则k的取值范围为_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．把两个方程相减，可得，x与y的和不小于4，即可求出答案．
【详解】解：把两个方程相减，可得
x与y的和不小于4，
解得：
k的取值范围为．
故答案为．
21. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式，解题的关键是理解方程有实数根的条件．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得；
故答案为：．
22. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为____________
【答案】##
【解析】
【分析】根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标．
【详解】在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，
得，
∴，，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，，，点为边上一动点，点为的中点，连接，点在上，且，在点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为___________
【答案】
【解析】
【分析】连接，，取的中点，连接，证明在圆上，进而可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是定值，进而可得点的运动轨迹，然后求得的长度即可．
【详解】如图，连接，，取的中点，连接
四边形是矩形，AB=8，AD=，
,
是的中点，
在以为圆心， 为直径的圆上，
是的中点，则中，
在以为半径，为圆心的弧上运动
当点时，如图，
点的运动的路径长为
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，根据特殊角的三角函数值求角度，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．
二、解答题（共30分）
24. 某商场用相同的价格分两次购进匹和匹两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表．
（1）求该商场购进匹和匹立地式空调的单价各为多少元？
（2）已知商场匹立地式空调的标价为每台元，匹立地式空调的标价为每台元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的匹立地式空调打九折，匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？
【答案】（1）匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
（2）两种立地式空调售出后商场获利元．
【解析】
【分析】（）设A型电脑单价为元，型电脑的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可；
（）分别计算出型电脑的获利和型电脑的获利，再相加即可；
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．
【小问1详解】
设该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
【小问2详解】
根据题意得：（元），
答：两种立地式空调售出后商场获利元．
25. 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为__________（直接填写答案）；
（3）如图2，连接，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线经过点和点，可得即可求解；
（2）当三点共线时，的值最大，据此即可求解；
（3）根据等腰三角形两边相等分三种情况讨论即可.
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和点，
∴抛物线解析式为：
∴
∴顶点D的坐标为
【小问2详解】
解：如图所示：
当三点共线时，的值最大
此时，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点P坐标为，
故答案为：
【小问3详解】
解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得：
时，
则，
∴
时：
则
∴
∴
即：
∴
∴
∴
时：
∵，而
∴
∴此种情况不成立
综上所述：或，
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了二次函数解析式的求解、一次函数的解析式、二次函数与特殊三角形问题等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
26. 如图，在正方形中，点E是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接．
（1）若点G为的中点，连接，当时，求证：垂直平分；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）求的最大值．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，则，
而，，故垂直平分；
（2）过点F作于点H，证明，设，正方形边长为，利用等角三角函数值相等得，，最后对运用勾股定理得，解得，即可求解；
（3）过点A作于点M，过点C作于点N，证明，则，而，故．
【小问1详解】
证明：连接，
∵正方形，
∴，，
∵，G为
∴，
∵沿着直线翻折，得到，
∴，，
∴，又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴垂直平分；
【小问2详解】
过点F作于点H，
由（1）得，M 为中点，而G为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∵
∴
设，正方形边长为，
则，而点G为中点，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，而，
∴，
∵,
∴，则，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【小问3详解】
过点A作于点M，过点C作于点N，
∴
由（2）知，而，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
而，
∴，即最大值为2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
匹（台）
匹（台）
总进价（元）
第一次
第二次