赣州市第四中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份赣州市第四中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知等差数列中,,则的值是( )
A.6B.9C.12D.15
2．等差数列的前n项和记为,且,,则=( )
A.70B.90C.100D.120
3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关,某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( )
4．下列命题中,真命题的是( )
A.若回归方程,则变量y与x正相关
B.线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果,若值越小,则模型的拟合效果越好
C.若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为8
D.若随机变量X服从正态分布,,则
5．已知函数的导数,且在处取得极大值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知梯形ABCD中,,,,,点P,Q在线段BC上移动,且,则的最小值为( )
A.1B.C.D.
7．已知函数,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
8．已知函数在上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
9．已知等比数列各项均为正数,,,数列的前n项积为,则( )
A.数列单调递增B.数列单调递减
C.的最大值为D.的最小值为
10．若的展开式中第6项的二项式系数最大,则n的可能值为( )
A.9B.10C.11D.12
11．已知定义在区间上的函数,是的导函数,若存在,使得．则称为函数在上的“中值点”．下列函数,其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为( )
A. B.
C. D.
12．已知函数,,动直线l过原点且与曲线相切,切点的横坐标从小到大依次为,,,,,.则下列说法错误的是( )
A.B.数列为等差数列
C.D.
三、填空题
13．一物体的运动方程为,且在时的瞬时速率为1,则___________．
14．某病毒会造成“持续的人传人”,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B, C就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.6．已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触,则被感染的概率为____________．
15．数列满足,,,则____________.
16．已知函数,则不等式的解集为____________．
四、解答题
17．已知是数列的前n项和,,,．
（1）证明：数列是等比数列;
（2）求．
18．已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程;
（2）求函数的极值．
19．已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且外接圆的圆心到准线的距离为
（1）求抛物线C的方程;
（2）若点在抛物线C上,过点F作斜率为的直线l与抛物线C交于P,Q两点,求面积的取值范围.
20．如图,在多面体中,底面是正方形,,,底面.
（1）证明：平面;
（2）若,求该多面体的体积.
21．已知数列各项都是正数,,对任意都有．数列满足,．
（1）求数列,的通项公式;
（2）数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围．
22．已知函数,．
（1）当时,求函数在处的切线方程;
（2）是否存在实数,使得对任意的,恒有成立？若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由．
参考答案
1．答案：C
解析：设公差为d,
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：在等差数列中,,,成等差数列,
所以,则,即.
故选：D.
3．答案：D
解析：记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用,
记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用,则,,
所以,已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.
故选：D.
4．答案：C
解析：,,则变量y与x负相关,A项错误;
在线性回归分析中相关指数越大,则模型的拟合效果越好,故B项错误.
若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为,C项正确;
因为X服从正态分布,,
则,故D项错误;
故选：C.
5．答案：B
解析：（1）当时,
当时,,当时,,
则在处取到极小值,不符合题意;
（2）当时,函数无极值,不符合题意;
（3）当时,
当时,,当时,,
则在处取到极大值,符合题意;
（4）当时,,函数无极值,不符合题意;
（5）当时,
当时,,当时,,
则在处取到极小值,不符合题意;
综上所述,
故选：B．
6．答案：D
解析：如图,以B为坐标原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,
因为梯形ADBC中,,,,所以,
不妨设,,
则,
所以当时,取得最小值,
故选：D．
7．答案：B
解析：由函数,
所以,令,
可得
令且,
可得在上恒成立,所以,
所以在上单调递增,
又由,
所以函数为偶函数,则在上单调递减,
又由,即,即,
整理得,解得或,
即不等式的解集为.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意,得,又在上恒成立,所以.
而当时,恒为0,此时（）,不具有单调性,
所以,即实数a的取值范围为.
故选：B
9．答案：BC
解析：等比数列的各项均为正数,,,
所以,即,又,解得或（舍）,
所以数列为单调递减数列,A错误,B正确;
则,易得：,,
所以的最大值为,C正确,D错误．
故选：BC．
10．答案：ABC
解析：分以下三种情况讨论：
①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大,则展开式共10项,可得,得;
②展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式共11项,可得,得;
③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大,则展开式共12项,可得,得.
因此,n可能值为9、10、11.
故选：ABC.
11．答案：AD
解析：对于A选项,,,
由,所以,,
当时,,如下图所示：
由图可知,直线与曲线在上的图象有两个交点,
A选项满足条件;
对于B选项,,,
由,所以,,
因为函数在上单调递增,故方程在上不可能有两个根,B不满足条件;
对于C选项,,,
由,可得,解得,
故函数上只有一个“中值点”,C选项不满足条件;
对于D选项,,,
由,可得,
故函数在上有两个“中值点”,D满足条件.
故选：AD.
12．答案：ABC
解析：,,则,
设切点坐标,则切线斜率
则,
整理得
则选项BC错误;
由,
则选项D判断正确;
若,则,则,这与题意矛盾,故选项A判断错误.
故选：ABC.
13．答案：1
解析：因为,
所以,
令,可得．
故答案为：1.
14．答案：0.81
解析：设事件“小明与第一代传播者接触”,
事件“小明与第二代传播者接触”,
事件“小明与第三代传播者接触”,
事件“小明被感染”,
则,,,
,,,
所以,
所以所求概率为0.81．
故答案为：0.81.
15．答案：63
解析：,即,
,
由等比中项法可知,数列为等比数列,且公比为,
,解得.
故答案为：63.
16．答案：
解析：由题意可知,函数的定义域为R,
且,
所以函数为偶函数,
当时,
因为不恒为零,所以函数在上为增函数,
因为,只需,
即,可得,
整理可得,解得.
故答案为:.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）．
解析：（1）证明：因为,
所以,
即．
因为,,所以,
故数列是首项为4,公比为2的等比数列．
（2）由（1）知．
因为
,
所以．
所以,
故．
18．答案：（1）;（2）极大值为;极小值为-8.
解析：（1）,,
从而,,
因此,函数点处的切线方程为：．
（2）令得或
则当x变化时,与的变化情况如下表
函数的单调递增区间是,,
函数的单调递减区间是;
当时,取得极大值,极大值为;
当时,取得极小值,极小值为-8．
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意,C的焦点为,准线
由外接圆的圆心在的垂直平分线上
所以外接圆的圆心横坐标为
又因为外接圆的圆心到准线的距离为
所以,所以,所以抛物线的方程为.
（2）设直线l的方程为,,
由韦达定理得,
因为轴,则
因为,令
所以
所以,即
所以的面积的取值范围为
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,
连接,交于点M,取的中点N,连接,.
因为底面是正方形,所以M是AC的中点,所以,.
又,,所以,,
故四边形是平行四边形,则.
又平面,平面,所以平面.
（2）设该多面体的体积为V,则.
因为底面,所以,
又,,所以平面,同理可得平面.
因为,所以,所以.
因为,所以,所以.
故该多面体的体积.
21．答案：（1）,;
（2）
解析：（1）数列各项都是正数,,对任意都有,①
当时,,②
①﹣②可得,
因为数列各项都是正数,
所以可化为,
因为,,
所以,所以,
所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以,;
数列满足,,
可得,
当时,,又,
两式相减可得,
所以的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列,
可得奇数项为1,3,5,7,...,,...,偶数项为2,4,6,...,,...,
所以;
（2）因为,
所以,
所以
两式相减可得
化为,
若不等式对一切恒成立,
即为恒成立,
设,
﹣1＝﹣1＝﹣1＝,
当时,,当时,,
所以时,取得最大值,
则﹣9,解得﹣,
即的取值范围是．
22．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）,
,切点为,切线斜率,
在处的切线方程为．
（2）在上恒成立,
也就是在上最大值小于0．
令,,
,
①若,则当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
的最大值为,．
②若,则当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增．
的最大值为,从而,
其中,由,得,这与矛盾．
综合①②可知：当时,对任意的,恒有成立．
x
-1
3
0
0
递增
递减
-8
递增