山东省烟台市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试卷(含答案)

这是一份山东省烟台市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,则( )
A.B.C.D.
2．已知向量,的夹角为,,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,则的值为( )
A.B.C.D.
4．故宫是世界上规模最大,保存最为完整的木质结构古建筑群,故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴,在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上,惊艳绝伦.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为,冬至前后正午太阳高度角为,如图,测得,则房檐A点距地面的高度为( )
A.B.C.D.
5．在中,点D为BC中点,E为AD中点,记,,则( )
A.B.C.D.
6．设,,,则( )
A.B.C.D.
7．设函数,,若存在,使得,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数,则( )
A.z的虚部为B.在复平面内对应的点在第四象限
C.D.z是关于x的方程的一个根
10．已知向量,,,则下列说法正确的是( )
A.若,则与夹角的余弦值为B.若,则
C.若,则与的夹角为锐角D.向量在上的投影向量是
11．函数的部分图象如图所示,则( )
A.函数在区间上单调递增
B.是函数的一个对称中心
C.函数在区间上的最大值2
D.若,则
12．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,O为外接圆圆心,则下列结论正确的有( )
A.B.外接圆面积为
C.D.的最大值为
三、填空题
13．已知,,则的值为______.
14．写出一个同时满足以下三个性质的函数:______.(写出一个符合条件的即可)①对于任意,都有;②的图象关于直线对称;③的值域为.
15．在中,,,D是边AB上一点,且满足,则的值为______.
16．赵爽是我国汉代数学家,大约在公元222年,他为《周髀算经》作注解时,给出了“赵爽弦图”:四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形.如图所示,正方形ABCD的边长为,正方形EFGH边长为1,则的值为______;______.
四、解答题
17．（1）已知复数是纯虚数,求的值;
（2）已知,,,求与夹角的大小.
18．已知向量,向量与的夹角为,且.
（1）求向量的坐标;
（2）设向量,,向量,若,求的最大值并求出此时x的取值集合.
19．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.,且.
（1）求角C的大小;
（2）若,,求的周长.
20．观察以下各式:
;
;
.
分析以上各式的共同特点,写出一个能反映一般规律的等式,并证明该等式.
21．绿水青山就是金山银山.近年来,祖国各地依托本地自然资源,打造旅游产业,旅游业蓬勃发展.某景区有一直角三角形区域,如图,,,,现准备在中间区域打造儿童乐园,M,N都在边AC(不含A,C)上且,设.
（1）若,求的值;
（2）求面积的最小值和此时角值.
22．设函数,将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
①若,求的值;
②若,,求c的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,,
所以.
故选:B
2．答案：B
解析：因为向量,的夹角为,,,
则,
因此,.
故选:B.
3．答案：C
解析：因为,且,则,
所以,
所以
.
故选:C
4．答案：D
解析：设点A在地面的射影为D,由已知得,,
则;
在三角形ABC中,由正弦定理,得.
在直角三角形ABD中,.故选:D
5．答案：A
解析：因为点D为BC中点,所以;因为E为AD中点,所以;
所以.
故选:A.
6．答案：C
解析：
,
,
,
因为,则,即.
故选:C.
7．答案：C
解析：,,显然,
当时,,当时,,因此,
,,
而,则当,即时,,当,即时,,即,
依题意,,,
所以实数m的取值范围为是.故选:C
8．答案：B
解析：因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以，所以，即.又是锐角三角形，所以，则，，所以，即，所以，解得.所以.又，所以，则，则，即，故选B.
9．答案：BCD
解析：依题意,复数,复数z的虚部为,A错误;
在复平面内对应的点在第四象限,B正确;
,,则,C正确;
,
即z是关于x的方程的一个根,D正确.
故选:BCD
10．答案：ABD
解析：对于A选项,当时,,则,A对;
对于B选项,因为,,,则,
若,则,解得,B对;
对于C选项,若与夹角为锐角,则,解得,
且与不共线,所以,,
所以,当且时,与的夹角为锐角,C错;
对于D选项,向量在上的投影向量
,D对.
故选:ABD.
11．答案：AC
解析：观察图象知,,,即,而,解得,
,有,因为点与在函数图象上相邻,
因此,解得,于是,
对于A,当时,,而正弦函数在上单调递增,
所以函数在区间上单调递增,A正确;
对于B,当时,,不是函数的一个对称中心,B正确;
对于C,当时,,当,即时,取得最大值2,C正确;
对于D,取,,有,,此时有,而,D错误.
故选:AC
12．答案：ACD
解析：在中,由正弦定理及得:,
而,则有,即,又,,
则,所以,即,A正确;
由正弦定理得外接圆半径,该圆面积,B错误;
如图,,C正确;
由余弦定理得:,当且仅当时取等号,
因此,D正确.
故选:ACD
13．答案：
解析：因为,两边平方得:,解得,
又,即,则,
所以,
故答案为:
14．答案：(答案不唯一)
解析：任意,,即函数是周期为的周期函数,
则由性质①,可令,,,
由性质②知,,,而,则,,
由性质③知,,解得,,于是,
所以同时满足给定三个性质的函数可以为.
故答案为:
15．答案：2
解析：因为,故即,
故为边上的高,故.
又可化为
,而,
所以,
整理得到:,故,
故即
故答案为:2.
16．答案：6,
解析：依题意,,,,全等,
在中,,,,由得:
,即,又,解得,
;
,,
所以.
故答案为:6;
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为复数是纯虚数,
所以,即且,
所以,又因为,
所以,则,
所以.
（2）因为,所以,即,
所以,整理得,
所以,
,
设与夹角为,,,
因为,所以,故与夹角为.
18．答案：（1）或;
（2）3,.
解析：（1）设,依题意,,,而,
因此,解得或,
所以向量的坐标是或.
（2）向量,且,当时,,不符合题意,舍去,
当时,,符合题意,即,则,
,
因为,则当,,即,时,,
所以的最大值是3,此时x的取值集合是.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）中,由正弦定理及得:,
整理得:,
而,则,又,
所以.
（2）由（1）知,依题意,,解得,
由余弦定理得:,解得:,
所以的周长.
20．答案：见解析
解析：,其中,
证明:,
则,
则左边
右边.
故等式成立.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,则,而,,
.
（2）在中,由正弦定理得,而,,
则,
在中,,,,
在中,由正弦定理得,,而,
,
,
,显然,有,,
则当,即时,取得最大值,,
所以当时,面积取得最小值.
22．答案：（1）;
（2）①2;
②.
解析：（1）依题意,,
,而函数的图象关于原点对称,
则有,,即,,而,则,,因此,
由,,得,,
所以函数的单调递增区间是.
（2）由（1）知,,即
在中,,即,则,解得,
①,由余弦定理得:
,因此,
所以.
②在中,,则有,得,
又,因此,由正弦定理,
得,
显然,即,从而,
所以c的取值范围是.