江苏省连云港市灌云县2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省连云港市灌云县2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2．已知⊙O的半径为10cm，点p到圆心O的距离为8cm，则点p和圆的位置关系( )
A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.无法判断
3．下列事件中，是确定事件的是( )
A.打开电视正好在播放广告
B.射击运动员射击一次，命中10环
C.随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是1
D.在一个装满白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
4．下列图形中的角是圆心角的是( )
A.B.C.D.
5．若，与的面积比为，则与的对应边的比是( )
A.B.C.D.
6．某篮球队5名场上队员的身高（单位：）分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员身高的( )
A.平均数变大，方差变小B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变大D.平均数变小，方差变小
7．关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根( )
A.2024B.C.－2024D.
8．如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接.下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是( )
A.①③B.①③④C.①④D.①②③④
二、填空题
9．二次函数的图像的顶点坐标是_______.
10．用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为_______.
11．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是_______.
12．三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为_______.
13．在中，，则是_______三角形.
14．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为_______.
15．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=_______.
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是_______.
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)
18．已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由.
19．为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛.比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）.小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组.
(1)小安抽到C组题目的概率是_____；
(2)请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率.
20．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A. 音乐社团；B. 体育社团；C. 美术社团；D. 书法社团；E. 电脑编程社团.该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查统计，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查共随机抽取了______名学生，条形统计图中“C. 美术社团”有______人；
(2)扇形统计图中圆心角______度；
(3)若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A. 音乐社团”的学生共有多少名？
21．某网店销售台灯，成本为每盏30元.销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏.为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价.
22．如图，已知P是外一点，请只用直尺和圆规过点P作的一条切线.（保留作图的痕迹）
23．如图，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点D、E，连接，已知.
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，，求的长.
24．为了让同学们感受三角函数与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣和探索欲望，数学备课组开展了“利用三角函数测高”综合实践活动.某活动小组对操场外的居民楼进行测量，如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点B的仰角.在与点A相距5.25米的测点D处安置测倾器，测得点E的仰角（点A，D与N在一条直线上），求居民楼的高度.（参考数据：，，，计算结果精确到）
25．如图1，点G在正方形的对角线上，于E，于F.
(1)证明与推断：
①求证：四边形是正方形；
②推断：___________；
(2)探究与证明：
将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图2，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长交于点H，若，，求的长.
26．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点，.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值；
(3)在（2）中四边形面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：A、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
B、化简后为不是一元二次方程，本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，本选项符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：C.
2．答案：A
解析：∵点P到圆心O的距离为8cm小于⊙O半径，
∴点P在圆内，A选项正确.
故答案选：A.
3．答案：D
解析：A、打开电视正好在播放广告，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、随意掷一块质地均匀的骰子，掷出的点数是1，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、在一个装满白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是确定事件，故本选项不符合题意；
故选：D
4．答案：A
解析：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意.
故选：A.
5．答案：A
解析：∵且与的面积比为
∴它们的相似比为5：6.
故选：A.
6．答案：C
解析：原数据的平均数为×（183+187+190+200+195）=191（cm），
方差为×[（183-191）2+（187-191）2+（190-191）2+（200-191）2+（195-191）2]=35.6（cm2），
新数据的平均数为×（183+187+190+200+210）=194（cm），
方差为×[（183-194）2+（187-194）2+（190-194）2+（200-194）2+（210-194）2]=95.6（cm2），
∴平均数变大，方差变大，
故选：C.
7．答案：D
解析：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有实数根.
故选：D
8．答案：B
解析：①∵四边形是正方形，
∴.
由折叠可知：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴.故①正确；
②过点C作于M，
由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②不正确；
③由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
即平分.
∴③正确；
④连接，如图，
∵，
∴
∴，
∵，
∴.
∴.
由折叠可得：，
∴.
∴.
由折叠可知：.
∴.
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴.
在和中，
，
∴.
∴，
∵
∴
∵
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④.
故选：B.
9．答案：
解析：∵二次函数的解析式的顶点式为，
∴二次函数的图像的顶点坐标是
故答案为：
10．答案：5
解析：设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，由题意，
，
解得（cm）.
故答案为：5
11．答案：
解析：设这种商品平均每次降价的百分率是x，根据题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：这种商品平均每次降价的百分率是.
故答案为：
12．答案：23
解析：，
解得：，，
由，则 4、9、14不能构成三角形；
由，
则4、9、10能构成三角形，则三角形周长为.
故答案为：23.
13．答案：钝角
解析：，
，，
，，
，，
，
是钝角三角形.
故答案为：钝角.
14．答案：
解析：设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是，
由题意可得：.
故答案为：.
15．答案：
解析：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
16．答案：1＋
解析：取AB的中点F，连接DF，
∠DCB＝60°，BC＝BD，

∠ADC＝150°，AB＝2，
以为边作等边，如图，连接，
则
为中点，
，
当且仅当过时，最长
此时.
17．答案：(1)，
(2)，
解析：（1）
∴或
解得，；
（2）
，，
∴
∴
解得，.
18．答案：(1)见解析
(2)能，另一根为
解析：（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，有，
解得：，
当时，方程为，
，
∴，，
∴能是方程的一个根，另一根为.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）小安抽到C组题目的概率是：
（2）画树状图如下：
由图知，共有16 种等可能的结果，小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的有12 种，
∴小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率是
20．答案：(1)200；30
(2)54
(3)300
解析：（1）人，
C.美术社团的人数为人，
故答案为：200，30；
（2），
故答案为：54；
（3）（名），
∴该校选择“A. 音乐社团”的学生共300名.
21．答案：每个台灯的售价为37元
解析：方法一：
设每个台灯的售价为x元.
根据题意，得（x-30）[（40-x）×200+600]=8400，
解得x1=36（舍），x2=37.
当x=36时，（40-36）×200+600=1400＞1210；
当x=37时，（40-37）×200+600=1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元.
方法二：
设每个台灯降价x元.
根据题意，得（40-x-30）（200x+600）=8400，
解得x1=3，x2=4（舍）.
当x=3时，40-3=37，（40-37）×200+600=1200＜1210；
当x=4时，40-3=36，（40-36）×200+600=1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元.
22．答案：见解析
解析：如图，即为所求.
23．答案：(1)为的切线，理由见解析
(2)
解析：（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，解得：，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为，
∴.
24．答案：
解析：延长交于点F，如图，
设米，
∵，，，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形均为矩形，
∴米，，，
∵， ，
∴，，
在中，，即，
解得（米），
∴，
即电池板离地面的高度约为.
25．答案：(1)①正方形
②
(2)，理由见解析
(3)
解析：（1）①证明∵四边形是正方形，
，，
，，
，
∴四边形是矩形，，
，
∴四边形是正方形；
②，
理由如下：
由①知四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
（2），
理由如下：如图，连接，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，，，，
，，
，
，
；
（3），点B、E、F三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
则由，得，
，则，
，
∴由得，
解得：，即.
26．答案：(1)
(2)9
(3)在这条直线上存在一个以点Q为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或
解析：（1）过点D作轴，垂足为E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
把点，代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点M作轴，垂足为F，
当时，，
解得：，
∴点，
当时，，
∴点，
设点M的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为9；
（3）存在，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵.
∴，
∴，
∵点B的坐标为，点C的坐标为，点A的坐标为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
设点Q的坐标为，则过点Q且垂直的直线的解析式为：，
联立两直线解析式成方程组，得：
，解得：，
∴两直线的交点坐标为，
依题意，得：，
整理得：，
解得：，
∴点Q的坐标为或，
综上所述：在这条直线上存在一个以点Q为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或.