2024年广东省江门市台山市中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下面的图形是常见的安全标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵是轴对称图形，
∴符合题意；
∵不轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选A．
3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：依题意有，
解得．
故选：B．
4. 下图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知与地面平行，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等的性质即可求出，根据邻补角的性质求出．
【详解】解：根据题意得： ，，
，
，
故选：D．
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方和同底数幂的除法，根据相关运算法则计算出每个选项的结果再进行判断即可
【详解】解：A. ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故选项D不符合题意；
故选：C
6. 地壳中含量最高的元素是氧，约占（质量百分比），其次是硅，约占，铝约占素，铁约占，其他元素约占．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【详解】解：地壳中含量最高的元素是氧，约占(质量百分比)，其次是硅，约占，铝约占，铁约占，其他元素约占．
要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图．
故选：C．
7. 有理数在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，以及式子的符号，根据数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可．
【详解】解：由图可知：，，故选项C正确；
∴，故选项A错误，
，故选项B正确；
，故选项D正确；
故选A．
8. 二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可
【详解】解：
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴方程组的解为，
故选：D
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，过A、C分别作轴，轴，根据菱形的性质可得，再证明，可得，然后可得C点坐标．
【详解】解：过A、C分别作轴，轴，
∵点A的坐标是，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到，即可判断①；根据函数性质即可判断②；根据抛物线经过点和时，，得到，，即可判断③；根据图象对称轴为直线，可知，即可求得，根据二次函数的图象顶点坐标为，求得，得到即可判断④．
【详解】解：①∵函数开口方向向上，
∴；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴，
∴，
故①正确；
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而增大；
故②错误；
③∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点为，
∴，
∴，即；
故③正确；
④∵图象对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵二次函数的图象顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④错误；
综上所述，正确的有①③共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，首先计算绝对值和零指数幂，然后计算减法，求出版式的值即可．
【详解】解：
，
故答案为：4．
12. 将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的一次函数的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案．
【详解】解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，
化简，得，
故答案为：．
13. 若是方程的两个根，则代数式______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，找出是解题的关键．
根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵是方程的两个根，
，
，
故答案为：2．
14. 春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是______．
【答案】##15度
【解析】
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数．
【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，分别为边上的动点．交于点，且．连接，则当的值最小时，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，构造辅助圆，计算最小值，利用等腰三角形的判定和正切函数的定义计算即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，辅助圆的构造，正切函数，熟练掌握辅助圆的构造和正切函数是解题的关键．
详解】∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
点在以为直径的半圆（在正方形内部）上运动．
如图，连接，交于点，
此时的值最小，最小值为．
，
，
．
，
．
，
．
又
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）解不等式组：．
（2）已知与点关于原点对称的点在一个反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次不等式组以及求反比例函数解析式：
（1）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集；
（2）先求出点的坐标，再代入，求出的值即可
【详解】解：（1）
解不等式①，得；
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
（2）设该反比例函数的解析式为．
点，
点关于原点对称的点为．
点在反比例函数的图象上，
该反比例函数的解析式为．
17. 某公司为表达对员工的关怀，准备为全体员工发放节日礼品，该公司在超市购进了甲、乙两种礼品．已知甲礼品的单价比乙礼品的单价的2倍少30元，用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍．问甲礼品的单价是多少元？
【答案】甲礼品的单价是90元．
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设乙礼品的单价是元，则甲礼品的单价是元，根据“用1200元购买乙礼品的数量是用900元购买甲礼品的数量的2倍”列出分式方程，求解、检验即可得到结论
【详解】解：设乙礼品的单价是元，则甲礼品的单价是元．根据题意，得
，
解得．
经检验，是方程的根且符合题意，
．
答：甲礼品的单价是90元．
18. 随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点竖直上升到点，测得点到点的距离为，此时点的俯角为；后无人机到达点，此时测得点的俯角为．求无人机从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】无人机从点到点的平均速度．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
根据题意可得：结合平行线性质，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，
，．
在中，，
，
，
，
无人机从点到点的平均速度．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，在中，，为的平分线．
（1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键．
（1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求；
（2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
证明：为的平分线，为的垂线，，
，，
在和中
，
，
，
．
20. 某大型科技公司最近研发了一款智能学习机器人，该机器人能够根据学生的学习进度和习惯进行个性化的辅导．为了测试这款机器人的辅导效果，该公司抽取了若干名初中生进行了一个学期的试验，试验结束后，该公司将他们的数学成绩的提高情况分为A．成绩提高20分以上；B．成绩提高10~19分；C．成绩提高1~9分；D．成绩没有提高四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图

（1）该公司抽取的初中生人数是______，并将条形统计图补充完整．
（2）若要从等级为A的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加数学竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图
（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得该公司抽取的初中生人数；求出C等级的人数，补全条形统计图即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到2名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：该公司抽取的初中生人数是（人）．
故答案为：40人．
C等级的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
【小问2详解】
解：画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
．
21. 综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】（1）9.6米；
（2）小明同学应该再放出8米线．
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求出，进而求出；
（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案．
小问1详解】
解：如图，过点作．
在中，．
由勾股定理，得，
则米．
【小问2详解】
解：风筝沿方向再上升12米后，
此时风筝线的长为米，
∴米．
答：小明同学应该再放出8米线．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 综合探究
如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．
（1）求证：四边形平行四边形．
（2）当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由．
（3）求证：是定值．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，1； （3）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理：
（1）道德证明四边形是矩形，得，同理可证，得出四边形是平行四边形．
（2）根据点A是上的点，，得出，由得出；
（3）过点作于点．设，则，求出，，计算出，进一步可得出结论
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点．
，
，
四边形是矩形，
．
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：存在，线段的长度不变．
∵点A是上的点，
在矩形中，．
，
．
【小问3详解】
解：如图，过点作于点．
设，则．
由，得，
．
，
，
，
是定值．
23. 综合运用
如图，在中，，过点作的垂线段，垂足为，连接，且．

（1）求线段的长．
（2）以点为中心，按逆时针方向旋转一周，使旋转后得到的的边恰好经过点（点不与点重合），求此时旋转角的度数．
（3）在（2）的条件下，将沿向右平移个单位长度，设平移后的图形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据旋转的性质，推出是等边三角形，进而求出即可；
（3）设与分别交于点与相交于点，作，垂足为，设，则，根据平移的性质，结合，求出，证明，推出，再根据，进行求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
．
【小问2详解】
如图1，，
．

由旋转过程知，
是等边三角形，
，
，即旋转角的度数为．
【小问3详解】
如图2，设与分别交于点与相交于点．

作，垂足为．
设，则．
由平移知，
．
∵，
∴，
∴．
，
，
，
．
【点睛】本题考查勾股定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，旋转和平移，相似三角形的判定和性质，求函数解析式，掌握相关知识点，正确的作图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
课题
在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测绘数据
①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米．
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．
说明
点A，B，E，D在同一平面内