辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2. 下列运算正确的是( )
A. ＝﹣2B. (2)2＝6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【详解】A：＝2，故本选项错误；
B：(2)2＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键.
3. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A. 514B. 8C. 16D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得，代入得到，计算求出答案即可．
【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得
，
∴，
∴字母A所代表的正方形的面积，
故选：D．
．
【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．
4. 下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a＝1，b＝，c＝B. a＝，b＝2，c＝
C. a＝，b＝，c＝D. a＝7，b＝24，c＝25
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
C、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；
D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A. 全等三角形对应边相等
B. 全等三角形对应角相等
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等
D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查命题的真假判断、逆定理的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．写出各个定理的逆命题，判断是否正确即可．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：A．逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意；
B．逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，此定理没有逆定理，故此选项符合题意；
C．逆命题是：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意；
D．逆命题是：角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，此定理有逆定理，故此选项不符合题意．
故选：B．
6. 如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为
A. 20B. 16C. 12D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
7. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，再根据进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形面积，正确理解题意得到是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（ ）

A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=180°-∠B=100°．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAD=50°．
∴∠AEB=∠DAE=50°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=50°．
故选B．
9. 如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（0，﹣1），D（0，1），则以C为圆心，AC为半径作弧，与y轴的正半轴交于点A1，A1的坐标为（ ）
A. （0，）B. （0，）C. （0，1）D. （0，1）
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可计算OA1的长，得A1的坐标．
【详解】解：由题意得：AD⊥CD．
∵AD=1，CD=2，
∴AC=A1C，
∴OA11，
∴A1的坐标为（0，1），
故选：D．
【点睛】本题考查了图形和坐标的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键．
10. 如图，在中，，以为边作的、、都是等边三角形，连接．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①②D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由，得出，故①正确；再证得,得 ,同理可证：,得,则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④不正确；即可得出答案．
【详解】解：
是直角三角形，,
，
故①正确；
、都是等边三角形，
和都是等边三角形，
,
在与中,
,
,
同理可证：,
,
四边形是平行四边形，
故②正确；
，
故③正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故④不正确；
正确的是①②③
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明全等是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 式子有意义的条件是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．据此列出不等式组解答即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得：．
故答案：．
12. 如图，，要使四边形是平行四边形，还需补充的一个条件是：___（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
【详解】由题意可补充或．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，货船沿南偏东方向航行海里到达处，客船航行海里到达处，此时两船相距海里，则客船航行方向是____________．
【答案】##10度
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的实际应用，根据题意得出，，，再利用勾股定理的逆定理得出，进而确定．确定的度数是解题的关键．
【详解】解：根据题意知：，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴客船航行方向是北偏东，
故答案为：．
14. 在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为_________．
【答案】55°或35°．
【解析】
【详解】试题分析：①若E在AD上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=55°；
②若E在AD的延长线上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠EDB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=35°．故答案为55°或35°．
考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．
15. 如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边AC为直角边，画第二个等腰，再以的斜边AD为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2021个等腰直角三角形的斜边长是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理依次求出斜边AC、AD、AE长，得出规律即可．
【详解】解：∵△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，
∴AC＝，
在第二个等腰Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝，
在第三个等腰Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝，
……
依此类推，第2021个等腰直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键．
三、解答题（本小题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，
（1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式将原式化简，再进行加减运算即可；
掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 如图，每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点．
（1） ； ．
（2）试判断是什么三角形，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，
（1）根据勾股定理求出边的长度即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点，
∴，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
是直角三角形．
理由：连接，
∵每个小正方形的边长均为，，，是小正方形的顶点，
∴，则，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
18. 求代数式值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 ；
（3）通过对上面错误的分析，求解代数式的值，其中．
【答案】（1）小亮 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）根据可知小亮的解法是错误的；
（2）根据（1）可得答案；
（3）先根据化简二次根式得到，进一步化简得到，据此代值计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：小亮的解法是错误的，原因是在化简二次根式时没有遵循，
故答案为：小亮；
【小问2详解】
解；由（1）可得错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴
．
19. 如图，B，E，C，F在一条直线上，已知，，，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，进而证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20. 如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案．
【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
∵，
∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
21. 如图，在中，，为的中点，过作，使交于点，交于点，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质，过点作，交的延长线于点，连接，证明，得到，由，证明，再根据勾股定理即可得证．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形、全等三角形．
【详解】证明：过点作，交的延长线于点，连接，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴．
22. 观察下列等式：
①
②
③
以上这种化简过程叫做分母有理化．回答下列问题：
（1）观察上面式子，试直接写出第个等式；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，
（1）根据已知等式即可得出第n个等式；
（2）分子分母同乘以即可；
（3）先将分母有理化，再进行加减运算即可．
理解和掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
，
，
∴第个等式为：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
23. 【教材呈现】如图是人教版八年级下册第48页部分内容：
（1）请完成教材的证明；
【结论应用】
（2）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．请判断的形状，并说明理由．
（3）如图2，四边形中，，是中点，是中点，连接，延长、交于点．若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论；
（3）连接，取的中点，连接、，得出，进而求出，由，得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解．
【详解】证明：延长至点，使，连接，
∵点、分别是的边与的中点，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴且；
（2）是等腰三角形．
理由：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）连接，取的中点，连接、，
∵是中点，是中点，，
∴ ，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．如图，点、分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明