山东省日照市金海岸中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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（卷面分值：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．根据二次根式的加减运算对A、B、D进行判断；根据平方差公式对C进行判断．
详解】解：A、原式，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式，所以C选项正确；
D、原式，所以D选项错误．
故选：C．
2. 若平行四边形一边长为14，对角线分别为a和b，则a和b的值可能是（ ）
A. 8和4B. 14和14C. 18和20D. 10和38
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握．结合题意，根据平行四边形的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】解：如图，设，，，

四边形是平行四边形，
，，，
根据三角形三边关系可得：，，
即：，，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
3. 下列命题中，逆命题为真命题的有（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②对顶角相等；
③三边对应相等的两个三角形全等；
④若，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】题目主要考查命题及逆命题的写法，等腰三角形、对顶角及等边三角形、等式的性质等，熟练掌握这些基础知识点依次判断即可．
【详解】①“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命题为真命题；
②“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，则这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题；
③“三边对应相等的两个三角形全等”的逆命题为“若两个三角形全等，则它们的三边对应相等”，此逆命题为真命题；
④“若，则”的逆命题为“若，则”，此逆命题为假命题，
故选：B．
4. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于”和分式分母不为零进行计算即可得，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
【详解】解：由题意得，，
解得且，
故选：．
5. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．
6. 若，则化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有意义可得，再结合，化简．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键．
7. 如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案．
【详解】分三种情况：
（1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为．
故选：C
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可．
【详解】原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键．
9. 受赵爽弦图证明勾股定理的启发，王刚同学利用两个相同的小正方形和两组分别全等的直角三角形拼成了如图所示的矩形，若，则该矩形的面积为（ ）
A. 12B. 20C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，弄清图形中各量之间的关系是解题的关键．设小正方形的边长为x，用x表示出矩形两邻边，利用矩形两边和对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程可求出x，进而可求出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，则由整个矩形的两边和对角线组成的直角三角形的三边为：，
由勾股定理，得，
整理，得，
∴该矩形的面积为，
故选：C．
10. 在长方形中，，，点是边上一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（ ）

A. 7B. C. 7或D. 以上答案均不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识．注意分类讨论．由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
， ，
当在上时，是直角三角形，如图1所示：

设，
由翻折的性质得：，
，
，
在中，
，
解得：，即，
；
当在上时，是直角三角形，如图2所示：
则，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．

综上，长为或7．
故选：C．
二、填空题
11. 关于的方程的解是____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解一元一次方程，先利用分母有理化进行化简计算，然后再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答．掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在中，平分，点E是的中点，且于点D．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长交AB于点
，先证明，得出，然后利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得：
．
故答案为：．
14. 在中，，，，D是直线上动点，若是等腰三角形，则的长度是_________．
【答案】9或或3
【解析】
【分析】求的长，要分三种情况，①是底边时D在的延长线上，为其中一个腰长，根据含有角直角三角形的特征，可分别求出三角形的三条边长，根据等腰三角形的性质，可知，最后根据求出的长；②为腰时，为另一个腰，所以；③是腰时，为底，由等腰三角形的性质，推出．
【详解】解：①如图1，若是等腰三角形，当是底边时D在的延长线上，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
．
图1
②如图2，当为腰时，为另一个腰，所以，
是直角三角形，，
，
，
，
．
图2
③如图3，当是腰，为底时，
，
，
，
，
，
，
，
．
图3
故答案为：9或或3
【点睛】本题考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质、在没有确定底边和腰的等腰三角形中分情况讨论是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
∴轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，
∴轴，
，
点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．
16. 如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案
【详解】∵
∴点B与点C关于AD对称
过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小
∵
∴BD=2
在Rt△ABC中，
∵S△ABC=
∴
得
故此题填
【点睛】此题考查最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，零指数幂：
（1）先分母有理化，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【小问1详解】
解；原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查分式的运算，把分式的除法转化为乘法，然后约分即可化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
；
把，代入得：
原式
19. 如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于圆的面积减去，即可求解．
【详解】解：如图：
∵以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，
∴，
∴阴影部分①②③④的面积相等，
∴阴影部分的面积；
答：阴影部分的面积共有．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，根据题意得到阴影部分的面积等于圆的面积减去是解题的关键．
20. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
，，
∴；
【小问2详解】
解：
．
21. 如图，在四边形中，，BD平分，，E为上一点，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理证明．再根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】证明： ，，，
，
是直角三角形，，
又，平分，
22. 如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为．
（1）求出B，C两岛的距离；
（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题；
（2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．
【小问1详解】
解：过点C作于点D，
由题意可得：，
，
，
在中，
，
由勾股定理得：，
，
解得：
在中，
，
由勾股定理得：，
答：B，C两岛的距离为；
【小问2详解】
解：会受影响，
以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，
则，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
答：台风影响岛屿C持续时间为．
23. 如图，在中，对角线交于点为上两点，连接，且
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若为的三等分点，求的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质，得，进行线段的差运算，得，根据对角线互相平分，即可证明四边形是平行四边形．
（2）先由平行四边形的性质，得根据勾股定理列式，得，结合E，F为的三等分点，进行线段的运算，即可作答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴
即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵E，F为的三等分点，
∴
∴
24. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）出发3秒后，的长为______．
（2）当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？
（3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（直接写出答案）．
【答案】（1）
（2）出发秒，等腰三角形
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查三角形中的动点问题．主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据题意，求出的长，勾股定理求出的长即可；
（2）当时，是等腰三角形，根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）分，，三种情况，讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：当时，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：当点Q在边上运动时，点在上运动，
∴
∴，
∵，
∴当时，是等腰三角形，
∴，
∴，即出发秒，是等腰三角形．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
当点在上时，，
当为等腰三角形，分三种情况进行讨论，
①当时，如图，过点作，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，即：，解得：；
③当时，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，解得：；
综上：当或或时，为等腰三角形．