2023-2024学年北京市怀柔一中高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市怀柔一中高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.按数列的排列规律猜想数列23，−45，67，−89，⋅⋅⋅的第10项是
( )
A. −1617B. −1819C. −2021D. −2223
2.4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有( )
A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种
3.在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( )
A. 0.56B. 0.24C. 0.94D. 0.84
4.设随机变量X的分布列如表，且EX=1.6，则a−b=( )
A. 0.2B. 0.1C. −0.2D. −0.4
5.在二项式(2x−1x)6的展开式中，常数项是( )
A. −240B. 240C. −160D. 160
6.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名(没有重复名次).已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有( )
A. 27种B. 48种C. 54种D. 72种
7.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P(N|M)=( )
A. 23B. 59C. 12D. 13
8.已知数列{an}满足a1=13，an−an+1anan+1=2，则a10=( )
A. 121B. 112C. 12D. 21
9.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等7名志愿者将两个吉祥物安装在学校广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，则不同的安装方案种数为( )
A. 15B. 30C. 42D. 50
10.记Sn为数列{an}的前n项和.若an=n(8−n)(n=1,2,⋯)，则( )
A. {an}有最大项，{Sn}有最大项B. {an}有最大项，{Sn}有最小项
C. {an}有最小项，{Sn}有最大项D. {an}有最小项，{Sn}有最小项
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的选取方法种数为______.(用数字作答)
12.已知离散型随机变量X～B(n,p)，且E(X)=7，D(X)=6，则p= ______．
13.同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95、0.90、0.80，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率______．
14.已知数列{an}满足：an=n2−λn，n∈N*，数列{an}是递增数列，试写出一个满足条件的实数λ的值______．
15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论：①a7=13，②S9=54，③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022，④a12+a22+a32+⋯+a20202a2020=a2021.其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
设(1+ax)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,(n∈N)，已知a3=−280．
(1)求实数a的值；
(2)求a1+a2+a3+⋯+a7的值；
(3)求a0−a12+a222−a323+⋯−a727的值．
17.(本小题13分)
袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．
18.(本小题14分)
已知数列{an}的前n项和Sn=32n−n2+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
19.(本小题14分)
在等差数列{an}中，若a3+a8+a13=12，a3a8a13=28．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a23的值；
(3)−165是否是数列{an}中的项？
20.(本小题15分)
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；
(2)从被抽取的年龄在[50,70]使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
21.(本小题15分)
民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为34，13，23，1.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞．
(Ⅰ)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(Ⅲ)根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为23，35，35，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，属于基础题．由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n为项数)，分母为奇数2n+1或分母比分子大1.即可得到通项公式．
【解答】
解：由数列23，−45，67，−89，….可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n(n为项数)，分母为奇数2n+1或分母比分子大1．
故可得通项公式an=(−1)n+1⋅2n2n+1．
∴a10=(−1)11⋅2021=−2021．
故选C．
2.【答案】A
【解析】解：四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，
每人有3种报名方法；
根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=81种不同的报名方法；
故选：A．
四名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，
则P(A)=0.8，P(B)=0.7，则P(A−)=0.2，P(B−)=0.3，
两人都不去博物馆的概率P(A−B−)=0.2×0.3=0.06，
则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率P=1−P(A−B−)=0.94；
故选：C．
根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，求出P(A−)、P(B−)的值，进而可得两人都不去博物馆的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率性质，注意相互独立事件的概率计算公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由分布列的性质可得，0.1+a+b+0.1=1，即a+b=0.8①，
∵E(X)=1.6，
∴0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6，即a+2b=1.3②，
联立①②解得a=0.3，b=0.5，
故a−b=−0.2．
故选：C．
根据已知条件，结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解．
本题主要考查分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解(2x−1x)6的展开式的通项公式为Tr+1=(−1)rC6r26−rx6−2r．
令6−2r=0，解得r=3，
∴(2x−1x)6展开式的常数项为−C6323=−160，
故选：C
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和(丙、丁和戊其中2名)产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，
故选：C．
由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和(丙、丁和戊其中2名)产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得．
本题考查了分步计数原理，特殊元素优先安排，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查列举法求条件概率，在列举时要有一定的规律、顺序，必须做到不重不漏，属于基础题．
确定基本事件的个数，即可求出P(N|M)．
【解答】
解：事件M为“两次所得点数均为奇数”，则事件为(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种，
N为“至少有一次点数是5”，则事件MN为(1,5)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)有5种，
所以P(N|M)=59，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：∵an−an+1anan+1=2，即1an+1−1an=2，
则数列{1an}是首项为3，公差为2的等差数列，
则1a10=3+(10−1)×2=21，a10=121，
故选：A．
可得到{1an}是首项为3，公差为2的等差数列，由此即可得．
本题考查数列的递推式，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将7人分为2组，要求小明和小李在同一组，有C52+C51=15种分组方法，
②安排2组去安装2个吉祥物，有A22=2种情况，
则有15×2=30种不同的安装方案；
故选：B．
根据题意，分2步进行分析：①将7人分为2组，要求小明和小李在同一组，②安排2组去安装2个吉祥物，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
根据题意，结合二次函数的性质分析{an}的最大项，再分析{an}的符号，据此分析可得{Sn}的最大项，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列前n项和分析，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，数列{an}，an=n(8−n)=8n−n2，
对于二次函数，y=−x2+8x，其开口向下，对称轴为x=4，即当x=4时，y=−x2+8x取得最大值，
对于{an}，n=4时，an最大；
且当1≤n0，当n=8时，an=0，当n>8时，an