2023-2024学年重庆七中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆七中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.AB+BC−AD=( )
A. ADB. DAC. CDD. DC
2.在△ABC中，已知B=120°，AC= 19，AB=2，则BC=( )
A. 1B. 2C. 5D. 3
3.已知向量a=(6t+3,9)，b=(4t+2,8)，若(13a+b)//(a−12b)，则t=( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
4.在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，记AE=a，CD=b，则AC=( )
A. 13(a−b)B. 12(a−b)C. 12a−13bD. 23(a−b)
5.已知向量a，b不共线，且AB=a+4b，BC=−a+9b，CD=3a−b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
6.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2)，点B(1+ 3,4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P，则点P的坐标为( )
A. (32 3+1,32)B. (−32 3+1,32)C. (52,32 3)D. (52,12)
7.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM=xAB，AN=yAC，则x+2y的最小值为( )
A. 2
B. 13
C. 3+2 23
D. 34
8.如图所示，平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB=2,BC=2 2，AC=CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 4
D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是( )
A. (a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b
B. 若|a|=|b|，则a=±b
C. 若a⊥b，则|a+b|=|a−b|
D. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
10.在△ABC中，AB= 6，BC=2，∠A=45°，则△ABC的面积可以为( )
A. 3− 32B. 32C. 3+ 32D. 6+ 22
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=1，则下列结论正确的有( )
A. OA⋅OD=− 22
B. OB+OH=− 2OE
C. AH⋅HO=BC⋅BO
D. 向量DE在向量AB上的投影向量为− 22AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ= ．
13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量a=xe1+ye2，则称有序实数对(x,y)为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量m，n在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2,k)，当k= 时，m⋅n=11．
14.已知平面向量a，b，c满足：a⋅b=|c|=2,|a−c|=3,|b−c|=4，则|a+b−c|= ______；且|a+b|的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a，b，|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为π3．
(1)求|a+2b|；
(2)若a+2b与2a+λb(λ∈R)垂直，求λ的值
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
(1)若PB=12，求PA；
(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA．
17.(本小题15分)
设向量a=( 3sinx,sinx)，b=(csx,sinx)，x∈[0,π2]．
(1)若|a|=|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)=a⋅b，求f(x)的最大值．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足已知ccsB+bcsC=a2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若csB= 33，求sin(2B+A)的值；
(3)若△ABC的面积为4 33，a=3，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，求sinx的值；
(2)记向量ON=(1, 3))的相伴函数为f(x)，若当x∈[0,11π12]时不等f(x)+kf(x+π2)>0恒成立，求实数k的取值范围；
(3)已知A(−2,3)，B(2,6)，OT=(− 3,1)为h(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，φ(x)=h(x2−π3)问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：AB+BC−AD=AC−AD=DC．
故选：D．
直接用向量加减法容易得解．
此题考查了向量加减法，属容易题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理，属于基础题．
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．
【解答】
解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cs120°，
即a2+2a−15=0，解得a=3，或a=−5(舍去)，
所以BC=3．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：向量a=(6t+3,9)，b=(4t+2,8)，
所以13a+b=(6t+3,11)，
a−12b=(4t+2,5)．
又(13a+b)//(a−12b)，
所以5(6t+3)−11(4t+2)=0，
解得t=−12．
故选：B．
根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
本题考查了平面向量的坐标运算与向量共线的应用问题，也考查了方程思想与运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意，点D，E分别是AB，BC的中点，
则有a=12(AB+AC)，
b=12AB+CA=12AB−AC，
两式相减，得a−b=32AC，
所以AC=23(a−b)．
故选：D．
根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BD=BC+CD=2a+8b=2AB，
由共线向量定理可得向量BD与AB共线，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
要证明三点共线，借助向量共线证明即可，由共线向量定理和向量的加减运算可得向量BD与AB共线，进而可得答案．
本题考查利用向量的共线来证明三点共线的，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设O为坐标原点，
由题意及AB=( 3,2)，
得AP=[ 3cs(−π3)−2sin(−π3), 3sin(−π3)+2cs(−π3)]=(3 32,−12)，
又因为A(1,2)，
所以P点坐标为OP=OA+AP=(1,2)+(3 32,−12)=(3 32+1,32)．
故选：A．
根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A点坐标可得点P的坐标．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵M，N，G三点共线，
∴MG=λGN，
∴AG−AM=λ(AN−AG)，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=13(AB+AC)，
∴13(AB+AC)−xAB=λ(yAC−13(AB+AC))，
∴13−x=−13λ13=λy−13λ，
解得，(3x−1)(3y−1)=1；
结合图象可知12≤x≤1，12≤y≤1；
令3x−1=m，3y−1=n，(12≤m≤2,12≤n≤2)；
故mn=1，x=1+m3，y=1+n3；
故x+2y=1+m3+2×1+n3
=m3+2n3+1≥13⋅2 2+1，
(当且仅当m3=2n3，即m= 2，n= 22时，等号成立)，
故x+2y的最小值为13⋅2 2+1=3+2 23；
故选：C．
由题意可得MG=λGN，从而化简可得13(AB+AC)−xAB=λ(yAC−13(AB+AC))，从而可得(3x−1)(3y−1)=1，换元3x−1=m，3y−1=n，从而可得x+2y=1+m3+2×1+n3=m3+2n3+1，从而利用基本不等式求最值．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．
8.【答案】D
【解析】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，
在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=12−8 2csα，
由正弦定理可得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，
∴sinβ=2sinα 12−8 2csα．
又AC=CD，AC⊥CD，
则在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD
=8+12−8 2csα−2×2 2× 12−8 2csα×cs(90°+β)
=20−8 2csα+4 2× 12−8 2csα⋅sinβ
=20−8 2csα+8 2sinα
=20+16sin(α−π4)，
∴α=3π4时，BD2有最大值36，所以BD取得最大值为6．
故选：D．
设∠ABC=α，∠ACB=β，在△ABC中分别由正弦定理和余弦定理表示出AC2及sinβ，在△BCD中，由余弦定理及三角恒等变换即可求解．
本题考查了三角形中的有关计算，考查了数形结合思想及函数思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A、因为向量的数量积不满足结合律，故A错误；
对于B、两向量的模相等，两向量方向不确定，不一定共线，故B错误；
对于C、若a⊥b，则a⋅b=0，可得|a|2+2a⋅b+|b|2=|a|2−2a⋅b+|b|2，则|a+b|=|a−b|，故C正确；
对于D、若a≠0，只要满足|b|=|c|，且b、c与a的夹角相等，就有a⋅b=a⋅c，不一定b=c，故D错误．
故选：ABD．
由向量的数量积不满足结合律判断A；由共线向量的定义判断B；直接推理C正确；举例说明D错误．
本题考查向量的概念与向量的模，考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：在△ABC中，AB= 6，BC=2，∠A=45°，
所以由正弦定理ABsinC=BCsinA，可得 6sinC=2 22，可得sinC= 32，
所以C=60°或120°，
所以△ABC的面积S=12AB⋅BC⋅sinB
=12AB⋅BC⋅sin(A+C)
=12× 6×2×(sin45°csC+cs45°sinC)
= 3(sinC+csC)
=3+ 32或3− 32．
故选：AC．
由已知利用正弦定理可得sinC的值，进而可求C=60°或120°，利用三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=1，
对于A：OA⋅OD=1×1×cs3π4=− 22，故 A 正确；
对于B：OB+OH= 2OA=− 2OE，故 B正确；
对于C：因为正八边形内角和为6π，故每个角为3π4，所以∠AHO=∠OBC=3π8，
因为|AH|=|BC|，|HO|=|BO|，=π−3π8=5π8，=3π8，则
AH⋅HO=|AH|⋅|HO|cs〈AH,HO〉=|AH|⋅|HO|cs5π8，
BC⋅BO=|BC|⋅|BO|cs〈BC,BO〉=|BC|⋅|BO|cs3π8，所以AH⋅HO≠BC⋅BO，故错误；
对于D：因为DE=AH，所以向量DE在向量AB上的投影向量，
即为AH在AB向量上的投影向量|AH|cs3π4⋅AB|AB|=− 22AB，故D正确．
故选：ABD．
直接利用向鲤的数鲤积的应用，向鲤的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案．
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属基础题．
12.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
利用向量平行的条件直接求解即可．
【解答】
解：∵向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，
∴λa+b=t(a+2b)=ta+2tb，
∴λ=t1=2t，解得实数λ=12．
故答案为12．
13.【答案】67
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的运算法则，属于基础题．
根据题意，得到m=3e1+2e2，n=2e1+ke2，再利用数量积的法则，把式子展开即可求出．
【解答】
解：由题意得，m=3e1+2e2，n=2e1+ke2，
∴m⋅n=(3e1+2e2)⋅(2e1+ke2)=6e12+(3k+4)e1⋅e2+2ke22=6+12(3k+4)+2k=11，
∴7k=6，∴k=67．
故答案为：67．
14.【答案】5 [3,7]
【解析】解：第一空，∵|c|=2,|a−c|=3,|b−c|=4，
∴a2−2a⋅c+c2=9，b2−2b⋅c+c2=16，
∴a2−2a⋅c+4=9，b2−2b⋅c+4=16，
∴a2−2a⋅c=5，b2−2b⋅c=12，
∴(a+b−c)2=a2+b2+c2+2a⋅b−2a⋅c−2b⋅c
=(a2−2a⋅c)+(b2−2b⋅c)+(c2+2a⋅b)
=5+12+(4+2×2)=25，
∴|a+b+c|=5；
第二空，∵|c|=2,|a+b−c|=5，
∴|a+b|≥|a+b−c|−|c|=3，当且仅当a+b−c,c反向，等号成立；
又|a+b|≤|a+b−c|+|c|=7，当且仅当a+b−c,c同向，等号成立，
∴|a+b|的取值范围为[3,7]．
故答案为：5；[3,7]．
第一空，根据向量数量积的性质，即可求解；第二空，由向量的“三角不等式”，即可求解．
本题考查向量的模问题的求解，三角不等式的应用，属中档题．
15.【答案】解：(1)∵|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为π3，
∴a⋅b=|a||b|csπ3=2×1×12=1，
则|a+2b|= (a+2b)2= |a|2+4a⋅b+4|b|2= 22+4×1+4×12=2 3；
(2)∵a+2b与2a+λb(λ∈R)垂直，
∴(a+2b)⋅(2a+λb)=0，
即2|a|2+2λ|b|2+4a⋅b+λa⋅b=0，
即8+2λ+4+λ=0，
解得：λ=−4．
【解析】(1)根据已知利用向量的数量积公式得出a⋅b，即可由向量模长的求法列式|a+2b|= (a+2b)2，结合向量的运算代入值求解即可；
(2)根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(I)在Rt△PBC中，cs∠PBC=PBBC=12，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2−2PB⋅ABcs30°=(12)2+( 3)2−2×12× 3× 32=74．
∴PA= 72．
(II)设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcs(90°−α)=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得ABsin∠APB=PBsin∠PAB，即 3sin150°=sinαsin(30∘−α)，
化为 3csα=4sinα.∴tanα= 34．
【解析】(I)在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°.在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．
(II)设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα.在△PBA中，由正弦定理得ABsin∠APB=PBsin∠PAB，即 3sin150°=sinαsin(30∘−α)，化简即可求出．
熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)由题意可得a2=( 3sinx)2+sin2x=4sin2x，b2=cs2x+sin2x=1，
由|a|=|b|，可得4sin2x=1，即sin2x=14．
∵x∈[0,π2]，∴sinx=12，即x=π6．
(2)∵函数f(x)=a⋅b
=( 3sinx,sinx)⋅(csx,sinx)
= 3sinxcsx+sin2x
= 32sin2x+1−cs2x2=sin(2x−π6)+12．
x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，
∴当2x−π6=π2时，sin(2x−π6)+12取得最大值为1+12=32．
【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
(1)由条件求得a2，b2的值，再根据|a|=|b|以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x−π6)+12.结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值．
18.【答案】解：(1)∵ccsB+bcsC=a2csA，
由正弦定理得sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sin(B+C)=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA，
∵sinA≠0，
∴csA=12，
∵0