2023-2024学年上海市长征中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市长征中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α满足sinα<0且csα>0，则角α是第象限角．( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
2.若θ∈(π2,π)，则 1−sin2θcsθ的值是( )
A. ±1B. 0C. 1D. −1
3.在△ABC中，如果满足bcsA=acsB，则△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
4.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα,3)，则csα=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知角α=2024°，则角α的终边落在第______象限．
6.已知角α的终边经过点(3,−4)，则csα= ______．
7.设一扇形的周长为12，圆心角为4，则该扇形的面积为______．
8.若csα−sinα=12，则sin2α的值为______．
9.已知csx=−13，x∈(π2,π)，则满足条件的x= ______(用反三角记号表示)
10.已知sinx+siny=12，csx−csy=13，则cs(x+y)= ______．
11.如图，四边形ABCD中，AB=2，BC=1，CD=3且B在A的正东方向上，C在B的南偏东30°方向上，D在C的北偏东30°方向上，则AD= ______．
12.如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为______．
13.已知sin(π3−α)=13，则cs(π6+α)= ．
14.方程csx− 3sinx=1(x∈[0,2π])的解集为______．
15.在三角形ABC中，已知A=120°，B=45°，AC=2，则三角形面积S= ______．
16.已知△ABC中，a=1，b=2，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
已知sinθ=35，θ∈(0,π2)，求tan(θ−π4)的值．
18.(本小题16分)
已知角α是第三象限角，tanα=12，求下列各式的值：
(1)cs(−2π−α)，cs(−π2+α)；
(2)sinαcsα+cs2α+2sin2α.
19.(本小题16分)
已知α、β为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114．
(1)求sin(α+β)的值；
(2)求角β．
20.(本小题18分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，cs2B=cs(A+C)．
(1)求B；
(2)求△ABC周长的取值范围．
21.(本小题18分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(−35,45)．
(1)求sin2α+cs2α+11+tanα的值；
(2)已知OP⊥OQ，求tan(α+β)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinα=yr<0，csα=xr>0，
∵r>0，
∴y<0，x>0．
∴α在第四象限．
故选：D．
利用三角函数的定义，可确定y<0，x>0，进而可知α在第四象限．
本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为θ∈(π2,π)，所以csθ<0，
所以 1−sin2θcsθ= cs2θcsθ=−csθcsθ=−1．
故答案为：D．
由同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为bcsA=acsB，
则由正弦定理得2sinBcsA=2sinAcsB，
可得sinBcsA−sinAcsB=0，
可得sin(B−A)=0，
因为A，B∈(0,π)，可得B−A∈(−π,π)，
则A=B，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
利用正弦定理化边为角整理可得sin(B−A)=0，即可得出结论
本题考查了正弦定理以及两角差的正弦公式在解三角形中的应用，考查学生的推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于中档题．
由已知结合任意角的三角函数的定义求得csα=xr=2sinα 4sin2α+9，整理可得：4cs4α−17cs2α+4=0，解方程即可得解．
【解答】
解：由题意可得：x=2sinα，y=3，
∴sinα>0，csα>0，
可得：r= 4sin2α+9，
∴csα=xr=2sinα 4sin2α+9，
可得：cs2α=4sin2α4sin2α+9=4(1−cs2α)4(1−cs2α)+9，
整理可得：4cs4α−17cs2α+4=0，
∴解得：cs2α=14，或4(舍去)，
∴csα=12．
故选：A．
5.【答案】三
【解析】解：α=2024°=5×360°+224°，
故角α的终边落在第三象限．
故答案为：三．
根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
本题主要考查象限角的定义，属于基础题．
6.【答案】35
【解析】解：∵角α的终边经过点(3,−4)，
∴r=5，
则csα=35，
故答案为：35
根据三角函数的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的求解，根据三角函数的定义是解决本题的关键．比较基础．
7.【答案】8
【解析】解：设该扇形的半径为r，
弧长为l，圆心角为α，
则α=4，
故l=αr=4r，
扇形的周长为12，
则l+2r=4r+2r=12，解得r=2，
故该扇形的面积为12αr2=12×4×4=8．
故答案为：8．
根据扇形弧长公式可求得半径r，代入扇形面积公式即可求得结果．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】34
【解析】解：因为csα−sinα=12，
所以两边平方，可得cs2α+sin2α−2csαsinα=1−sin2α=14，
则sin2α=34．
故答案为：34．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
9.【答案】π−arccs13
【解析】解：因为csx=−13，x∈(π2,π)，
所以x=arccs(−13)=π−arccs13．
故答案为：π−arccs13．
根据反三角函数求解即可．
本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题．
10.【答案】5972
【解析】解：∵sinx+siny=12，csx−csy=13，
∴平方得sin2x+sin2y+2sinxsinx=14①，
cs2x+cs2y−2csxcsy=19②，
①+②得2+2sinxsinx−2csxcsy=14+19=1336，
即−2cs(x+y)=1336−2=−5936，即cs(x+y)=5972．
故答案为：5972．
将条件进行平方，然后将平方后的两式对应相加，即可得到cs(x+y)的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】 19
【解析】解：延长AB交CD与E，因为且B在A的正东方向上，C在B的南偏东30°方向上，D在C的北偏东30°方向上，
所以三角形BCE是正三角形，BC=1，AB=2，所以AE=3，CE=1，CD=3，所以DE=2，
∠AED=120°，
所以AD= AE2+DE2−2AE⋅DEcs120°= 9+4−2×3×2×(−12)= 19．
故答案为： 19．
延长AB交CD与E，求出三角形AED的边长与角，利用余弦定理转化求解即可．
本题考查三角形的解法，方位角的应用，余弦定理的应用，是中档题．
12.【答案】13
【解析】解：因为矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，
则在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD=2，∠EAD=π4，
所以tan∠CAD=tan(∠CAE+π4)⇔2=tan∠CAE+tanπ41−tan∠CAE⇒tan∠CAE=13．
故答案为：13
有已知矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，由图可知：∠CAD=∠DAD+CAE，利用两角和的正切公式即可求得．
此题考查了识图，还考查了两角和的正切展开式及学生的计算能力．
13.【答案】13
【解析】【分析】
本题主要考查了利用诱导公式对三角化简求值的应用，属于基础试题．
结合已知及诱导公式可得cs⁡(π6+α)=sin⁡(π3−α)，即可求解．
【解答】
解：因为sin(π3−α)=13，
则cs⁡(π6+α)=cs⁡[π2−(π3−α)]=sin⁡(π3−α)=13，
故答案为13．
14.【答案】{0,4π3,2π}
【解析】解：因为csx− 3sinx=1，
所以2cs(x+π3)=1(x∈[0,2π])，
所以cs(x+π3)=12，
又x∈[0,2π]，
所以x+π3∈[π3,7π3]，
所以x+π3=π3或x+π3=5π3或x+π3=7π3，
解得x=0或x=4π3或x=2π．
故解集为{0,4π3,2π}．
故答案为：{0,4π3,2π}．
根据辅助角公式和余弦型函数的图象及性质即可求解．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
15.【答案】3− 32
【解析】解：∵A=120°，B=45°，AC=2，由正弦定理得ACsinB=BCsinA，
∴BC=ACsinAsinB=2× 32 22= 6，
∵sinC=sin(180°−120°−45°)=sin(45°−30°)= 22× 32− 22×12= 6− 24，
∴S=12AC⋅BC⋅sinC=12×2× 6× 6− 24=3− 32．
故答案为：3− 32．
先利用正弦定理求出BC，再利用sinC=sin(180°−120°−45°)=sin(45°−30°)求出sinC，最后通过三角形的面积公式求解即可．
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
16.【答案】(1, 3)∪( 5,3)
【解析】解：在△ABC中，a=1，b=2，
则b−aa=1，b=2，a则角B为钝角或角C为钝角，
若角B是钝角，
则csB<0，即12+c2−222×1×c<0，
故1若角C是钝角，
则csC<0，即12+22−c22×1×2<0，解得 5综上所述，c的取值范围是(1, 3)∪( 5,3)．
故答案为：(1, 3)∪( 5,3)．
根据已知条件，结合三角形的性质，推得1本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为sinθ=35且θ∈(0,π2)，
则csθ>0，
所以csθ= 1−sin2θ=45，
则tanθ=34，
则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=34−11+34=−17．
【解析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
18.【答案】解：(1)由tanα=12，知sinαcsα=12，2sinα=csα，则4sin2α=cs2α，
又因为sin2α+cs2α=1，
所以sin2α+4sin2α=1，即sin2α=15，
由α在第三象限知sinα=− 55，csα=2sinα=−2 55，
所以cs(−2π−α)=csα=−2 55，cs(−π2+α)=sinα=− 55．
(2)sinαcsα+cs2α+2sin2α=sinαcsα+cs2α+2sin2αsin2α+cs2α=tanα+1+2tan2αtan2α+1=12+1+2×(12)2(12)2+1=85．
【解析】(1)由tanα的值，可得2sinα=csα，两边平方可得4sin2α=cs2α，结合同角三角函数基本关系式可求sin2α的值，结合范围，利用诱导公式即可得解．
(2)利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为α，β为锐角，
所以0<α+β<π，则sin(α+β)>0，
因为cs(α+β)=−1114，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=5 314．
(2)因为α为锐角，csα=17，
所以sinα= 1−cs2α=4 37，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=5 314×17+1114×4 37= 32，
因为β为锐角，
所以β=π3．
【解析】(1)由α，β为锐角，则0<α+β<π，利用同角的三角函数关系求解即可；
(2)先求得sinα，再由sinβ=sin[(α+β)−α]求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)在△ABC中，2cs2B−1=cs(π−B)，即2cs2B+csB−1=0，解得csB=12，
而0所以B=π3；
(2)在△ABC中，由余弦定理得：9=b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3(a+c2)2=14(a+c)2，
当且仅当a=c时取“=”，即有0因此，当a=c=3时，(a+c)max=6，而a+c>b=3，即3所以△ABC周长的取值范围是(6,9]．
【解析】(1)利用诱导公式、二倍角的余弦公式求出csB即可求解作答．
(2)利用余弦定理，均值不等式求解作答．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由三角函数定义得csα=−35，sinα=45，
∴原式=2sinαcsα+2cs2α1+sinαcsα=2csα(sinα+csα)sinα+csαcsα=2cs2α=2×(−35)2=1825．
(2)由OP⊥OQ，得α−β=π2，∴β=α−π2，
∴sinβ=sin(α−π2)=−csα=35，csβ=cs(α−π2)=sinα=45，
∴tanα=sinαcsα=−43，tanβ=sinβcsβ=34，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−43+341−(−43)×34=−724．
【解析】(1)由三角函数的定义首先求得sinα，csα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
(2)由题意可得α−β=π2，然后利用诱导公式求出sinβ=35,csβ=45，分别求出tanα，tanβ的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．