2024年江苏省泰州市姜堰中学高考数学段考试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省泰州市姜堰中学高考数学段考试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内表示复数m+im−i的点位于第二象限，则实数m的取值范围是( )
A. (−1,1)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)
2.设x1，x2，…，xn为样本数据，令f(x)=i=1n(xi−x)2，则f(x)的最小值点为( )
A. 样本众数B. 样本中位数C. 样本标准差D. 样本平均数
3.“(12)a>(12)b”是“1a>1b”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.曲线y=ex+x+1上的点到直线y=2x距离的最小值为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 3 55
5.已知函数f(x)=(x−3)2−1，则平面图形D内的点(m,n)满足条件：f(m)+f(n)0，则D的面积为( )
A. πB. 3C. π2D. 1
6.已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2+(y−3)2=1上一点，则PQ+PF的最大值为( )
A. 3B. 6C. 4+2 3D. 5+2 3
7.记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn.若anan+1=9n2+3n−2,n∈N*，则S10=( )
A. −155B. 125C. 155D. 185
8.设函数f(x)=2sin(ωx−π6)−1(ω>0)在[π,2π]上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是( )
A. [32,+∞)B. [32,73]∪[52,+∞)
C. [136,3]∪[196,+∞)D. [12,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，假命题是( )
A. 要唯一确定抛物线，只需给出准线和抛物线上的一点
B. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆上的一点
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
10.对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中，为真命题的是( )
A. 若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=⌀
B. 若A，B⊆R且A⊕B=⌀，则A=B
C. 若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B
D. 存在A，B⊆R，使得A⊕B=∁RA⊕∁RB
11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是( )
A. 底面椭圆的离心率为 22
B. 侧面积为24 2π
C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D. 底面积为4 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(ax−1 x)5的展开式中所有项的系数和为32，则a= ______．
13.已知F1，F2，分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若cs∠MF1N=513，则C的离心率为______．
14.正三棱锥S−ABC中，底面边长AB=2，侧棱AS=3，向量a，b满足a⋅(a+AC)=a⋅AB，b⋅(b+AC)=b⋅AS，则|a−b|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．
(1)求角A；
(2)若a=6，点M为△ABC的重心，且AM=2 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD= 5，点E是线段AD的中点，CM=2MP．
(1)证明：PE/​/平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角．
17.(本小题15分)
某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则对任意正数ε，均有P(|x−μ|≥ε)≤σ2ϵ2成立．
(i)若X～B(100,12)，证明：P(0≤X≤25)≤150；
(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)
18.(本小题17分)
设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图像.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”．
(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；
(2)已知06或m−n6或m−n0，解得a1=2，d=3．
所以S10=10×2+10×92×3=155．
故选：C．
令n分别取1，2，得到等差数列的两个关系，结合等差数列的通项公式，可求出数列{an}的首项和公差，进而可求前10项的和．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：令2sin(ωx−π6)−1=0，则sin(ωx−π6)=12，
因为ω>0，所以ωx−π6>−π6，
令sinz=12，解得z=π6+2kπ，k∈Z或z=5π6+2k1π，k1∈Z，
从小到大将sinz=12的正根写出如下：
π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6，……，
因为x∈[π,2π]，所以ωx−π6∈[ωπ−π6,2ωπ−π6]，
当ωπ−π6∈[0,π6]，即ω∈[16,13]时，2ωπ−π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，
当ωπ−π6∈(π6,5π6]，即ω∈(13,1]时，2ωπ−π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，
当ωπ−π6∈(5π6,13π6]，即ω∈(1,73]时，2ωπ−π6≥17π6，解得ω≥32，
故ω∈[32,73]，
当ωπ−π6∈(13π6,17π6]，即ω∈(73,3]时，2ωπ−π6≥25π6，解得ω≥136，
故ω∈(73,3]
当ω≥3时，2ωπ−π6−(ωπ−π6)=ωπ≥3π，
此时f(x)在[π,2π]上至少有两个不同零点．
综上，ω的取值范围是[32,+∞)．
故选：A．
先令f(x)=0得sin(ωx−π6)=12，并得到ωx−π6>−π6，从小到大将sinz=12的正根写出，因为x∈[π,2π]，所以ωx−π6∈[ωπ−π6,2ωπ−π6]，从而分情况，得到不等式，求出答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A、只有准线和抛物线上一点，无法确定焦点位置，故无法确定唯一抛物线，故A错误；
对于B、给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，故B正确；
对于C、若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，故C不正确；
对于D、给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，故D不正确．
故选：ACD．
根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．
本题考查椭圆、抛物线、双曲线的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义问题，理解新定义，并结合韦恩图进行思考是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和抽象能力，属于中档题．
理解集合的新定义，然后结合韦恩图逐一判断A、B、C选项；对于D选项，举出特例，当A=B时满足条件即可．
【解答】
解：对于A选项，因为A⊕B=B，
所以B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，
因此A=⌀，即选项A正确；
对于B选项，因为A⊕B=⌀，所以⌀={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即选项B正确；
对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即选项C错误；
对于D选项，当A=B时，∁RA=∁RB，
此时A⊕B=∁RA⊕∁RB=⌀，即D正确．
故选：ABD．
11.【答案】ABD
【解析】解：不妨过斜圆柱的最高点D和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是斜圆柱，
如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，平行四边形BFDE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知∠ABF=45°，则BF= 2AB，
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a= 2⋅2b，
a= 2b，c= a2−b2= a2−( 22a)2= 22a，
所以离心率为e=ca= 22，A正确；
作EG⊥BF，垂足为G，则EG=6，易知∠EBG=45°，BE=6 2，
又CE=AF=AB=4，
所以斜圆柱侧面积为S=2π×2×(4+6 2)−2π×2×4=24 2π，B正确；
2b=4，b=2，2a=4 2a=2 2，椭圆面积πab=4 2π，D正确；
由于斜圆柱的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，
所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为4π×22=16π，C错误．
故选：ABD．
由题意如图，求出椭圆中的a，b的关系，进而求出椭圆的离心率，判断出各个命题的真假．
本题考查圆柱中的性质的应用及椭圆的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】3
【解析】解：由题意，令x=1，可得(a−1)5=32，解得a=3．
故答案为：3．
利用赋值法求解．
本题考查二项式系数和的应用，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：易知MN关于x轴对称，令∠MF1F2=α，cs2α=513，
∴cs2α=12×(1+513)=913，sin2α=413，
∴tan2α=49，∴tanα=23，
y=baxy=−ba(x−c)⇒x=c2y=bc2a，
∴M(c2,bc2a)，tanα=bc2a32c=23，
∴ba=2，
∴e=ca= 1+(ba)2= 5．
故答案为： 5．
根据二倍角公式求出ba=2，再求出离心率即可．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
14.【答案】4
【解析】解：由三棱锥S−ABC是正三棱锥，可得AS=BS=CS=3，且AB=BC=CA=2，
由a⋅(a+AC)=a⋅AB化简得a2=a⋅CB，根据b⋅(b+AC)=b⋅AS化简得b2=b⋅CS．
设a=CM，b=CN，代入a2=a⋅CB，b2=b⋅CS，分别化简得MC⋅MB=0且NC⋅NS=0，
因此，点M在以BC为直径的球面上，半径r1=12BC=1；N在以SC为直径的球面上，半径r2=12CS=32．
分别取线段BC、SC的中点E、F，则EF=12BS=32，故|a−b|max=|MN|max=|EF|+r1+r2=32+1+32=4．
故答案为：4．
根据向量的线性运算法则与数量积的运算性质化简已知等式，设a=CM，b=CN，将向量等式转化为动点的轨迹问题，再利用球的性质计算出两球的球面上的两点间距离的最大值，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的线性运算、向量数量积的运算性质、球的性质等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵a+bc=sinC−sinBsinA−sinB，由正弦定理可得a+bc=c−ba−b，
整理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12．
又∵A∈(0,π)，∴A=π3．
(2)设AM的延长线交BC于点D，因为点M为△ABC的重心，所以点D为BC中点，
又∵AM=2 3，∴AD=3 3．
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，a=6和A=π3，可得bc=b2+c2−36．
在△ABD和△ACD中，有cs∠ADB=−cs∠ADC，
c2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
b2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC，
由余弦定理可得b2+c2=72，
∴bc=b2+c2−36=72−36=36，
∴△ABC的面积为12bcsinA=12×36×sinπ3=9 3．
【解析】(1)余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12；(2)根据cs∠ADB=−cs∠ADC，由余弦定理可得b2+c2=72，由此可得bc，可得面积．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得DE=12BC=1，
则△DEN与△BCN相似，所以EN=12NC，
又PM=12MC，所以MN//PE，
又MN⊂平面BDM，PE⊄平面BDM所以PE/​/平面BDM；
(2)解：如图，建立空间直角坐标系，E(0,0,0)，A(1,0,0)，
D(−1,0,0)，B(1,2,0)，C(−1,2,0)，P(0,0,2)，
PC=(−1,2,−2),PM=13PC=(−13,23,−23)，
则M(−13,23,43)，
设平面AMB的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由AB=(0,2,0),AM=(−43,23,43)，
则AB⋅n1=0AM⋅n1=0，即2y1=0−43x1+23y1+43z1=0，
取x1=1，可得n1=(1,0,1)，
由(1)可取平面BDM的法向量为n2=(1,−1,0)，
所以|cs|=|n1⋅n2||n1||n2|=12，即平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为12，
所以平面AMB与平面BDM的夹角为π3．
【解析】(1)连接EC交BD于N，连接MN，根据条件证明MN//PE即得；
(2)先证明PE⊥平面ABCD，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得．
本题主要考查线面平行的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，
则P(AB)=C702C1002=161330,P(A)=C1002−C302C1002=301330，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161330301330=2343，
即从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，则另一件也为合格品的概率为2343．
(2)(i)证明：由题：若X～B(100,12)，则E(X)=50，D(X)=25，
又P(X=k)=C100k(12)100=P(X=100−k)，
∴P(0≤X≤25)=12P(0≤X≤25或75≤X≤100)=12P(|X−50|≥25)，
由切比雪夫不等式可知，P(|X−50|≥25)≤25252=125，
∴P(0≤X≤25)≤150；
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X～B(100,0.9)，
∴E(X)=90，D(X)=9，
由切比雪夫不等式知，P(X=70)≤P(|X−90|≥20)≤9400=0.0225，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，
由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
【解析】(1)由条件概率的公式进行求解即可；
(2)(i)由X～B(100,12)，求出E(X)=50，D(X)=25，再结合切比雪夫不等式即可证明；
(i)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X，X～B(100,0.9)，由切比雪夫不等式判断出P(X=70)≤P(|X−90|≥20)≤9400=0.0225，进而可得出结论．
本题主要考查条件概率的求法，二项分布的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，设t>0，则曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为y−lnt=1t(x−t)，
该切线过原点O时，−lnt=−1，解得t=e，故原点O是函数y=lnx的一个1度点；
又因为该切线过点A(2,0)，所以−lnt=1t(2−t)，
设s(t)=tlnt−t+2，则s′(t)=1+lnt−1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，
所以t∈(0,1)时，s′(t)0，s(t)单调递增，
所以s(t)=tlnt−t+2在x=1处取得极小值，也是最小值，且s(1)=0−1+2=1>0，
所以−lnt=1t(2−t)无解，点A(2,0)不是函数y=lnx的1度点；
(2)证明：设t>0，y′=cst，则曲线y=sinx在点(t,sint)处的切线方程为y−sint=cst(x−t)，
则该切线过点(0,π)，当且仅当π−sint=−tcst(*)，
设G(t)=sint−tcst−π，G′(t)=tsint，∴00时，y=h(t)仅(−∞,0)上有一个零点，也不合要求；
故y=h(t)有两个不同零点当且仅当h(0)=0或h(a)=0，
若a0，可得出曲线在点(t,sint)处的切线方程为y−sint=cst(x−t)，该切线过点(0,π)时，π−sint=−tcst，然后设G(t)=sint−tcst−π，然后根据导数符号可判断G(t)在(0,π)上单调递增，从而得出方程π−sint=−tcst无解，这样即可得出要证明的结论；
(3)求导得出y′=3x2−1，设t∈R，可得出曲线在(t,t3−t)处的切线方程为y−(t3−t)=(3t2−1)(x−t)，设点(a,b)为函数y=x3−x的2度点，从而得出关于t的方程b−(t3−t)=(3t2−1)(a−t)恰有两个不同的实数解，设h(t)=2t3−3at2+(a+b)，则h(t)有两个不同的零点，讨论a：a=0时，可得出不合要求；a>0时，h′(t)，根据h′(t)=0可求出h(t)的极大值和极小值，并可得出h(−3a+b2)0，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数y=x3−x的2度点构成的集合．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题．
19.【答案】(I)解：设直线MN：x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+1y2=4x，消去x得y2−4my−4=0，
所以y1+y2=4m，y1⋅y2=−4，
|MF|=3|NF|，则y1=−3y2
∴y1+y2=−2y2=4m,y1⋅y2=−3y22=−4，则m2=13，
又由题意m>0，则m= 33，
直线的方程是y= 3x− 3；
(II)(i)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，D(x3,y3)，
因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为x2+y2+dx+ey=0，
联立x2+y2+dx+ey=0y2=4x，消去x得y4+(4d+16)y2+16ey=0，
即y(y3+(4d+16)y+16e)=0，
所以y1，y2，y3即为关于y的方程y3+(4d+16)y+16e=0的3个根，
则y3+(4d+16)y+16e=(y−y1)(y−y2)(y−y3)，
因为(y−y1)(y−y2)(y−y3)=y3−(y1+y2+y3)y2+(y1y2+y2y3+y1y3)y−y1y2y3，
由y2的系数对应相等得，y1+y2+y3=0，所以△MND的重心的纵坐标为0；
(ii)解：记△OMN，△MND的面积分别为S1，S2，由已知得直线MN的斜率不为0，
设直线MN：x=my+1，
联立x=my+1y2=4x，消去x得y2−4my−4=0，
所以y1+y2=4m，y1⋅y2=−4，
所以S1=12⋅|OF|⋅|y1−y2|=12⋅ 16m2+16=2 m2+1，
由(i)得，y3=−(y1+y2)=−4m，
所以x3=14y32=14×(−4m)2=4m2，即D(4m2,−4m)，
因为|MN|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4，
点D到直线MN的距离d=|8m2−1| m2+1，
所以S2=12⋅|MN|⋅d=12⋅(4m2+4)⋅|8m2−1| m2+1=2 m2+1⋅|8m2−1|，
所以S=S1+S2=2 m2+1+2 m2+1⋅|8m2−1|=2 m2+1(1+|8m2−1|)，
M在第一象限，即y1>0，y20，求出m= 33即可；
(II)(i)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，D(x3,y3)，由O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为x2+y2+dx+ey=0，与抛物线方程联立得y4+(4d+16)y2+16ey=0，进一步可得y1，y2，y3即为关于y的方程y3+(4d+16)y+16e=0的3个根，即y3+(4d+16)y+16e=(y−y1)(y−y2)(y−y3)，再由一次项y的系数之间的关系即可得解；
(ⅱ)由(I)y1+y2=4m，y1⋅y2=−4，则S1=12⋅|OF|⋅|y1−y2|=12⋅ 16m2+16=2 m2+1，再由(i)及抛物线的方程可求得D(4m2,−4m)，然后求出|MN|和D到直线MN的距离即可得S2=2 m2+1⋅|8m2−1|，进一步可得S=S1+S2=2 m2+1+2 m2+1⋅|8m2−1|=2 m2+1(1+|8m2−1|)，然后结合函数的知识即可求解．
本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线位置关系的综合应用，属于难题．测试指标
[20,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件数(件)
12
18
36
30
4