2021-2022学年广东省深圳外国语学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省深圳外国语学校高二（下）期中数学试卷，共1页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知正项递增等比数列中，，，则
A．2B．8C．16D．32
2．（5分）若随机变量的分布列如下表：则
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
3．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
4．（5分）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150B．200C．300D．400
5．（5分）一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为
A．B．C．D．
6．（5分）已知多项式的展开式中的系数为160，则的值为
A．B．0C．1D．2
7．（5分）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”； 表示事件“医生乙派往①村庄”； 表示事件“医生乙派往②村庄”，则
A．事件与相互独立B．事件与相互独立
C．D．
8．（5分）定义空间直角坐标系中的任意点，，的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数．如：，1，，，3，，，2，，若点的坐标，，，1，2，，则所有这些点的“数”的平均值与最小值之差为
A．B．2C．D．
二．多项选择题（每题5分，共20分。每题有多个选项，漏选可得2分，多选，错选，不选均不得分）
9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，其正态分布密度曲线（正态分布密度曲线是函数的图象）如图所示，则下列说法正确的是
A．甲类水果的平均质量为
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．平均质量分布在，时甲类水果比乙类水果占比大
D．
10．（5分）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有
A．组成可以有重复数字的四位数有500个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字且百位是奇数的四位偶数有28个
11．（5分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题正确的是
A．的最大值为12
B．数列是公差为的等差数列
C．
D．
12．（5分）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是
A．展开式中奇数项的二项式系数和为512
B．展开式中第7项系数最大
C．展开式中不存在常数项
D．展开式中含的项的系数为45
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知，若，则 ．
14．（5分）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为，对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为、、，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是 ．
15．（5分）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为 ．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分．每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）
17．（10分）已知二项式．
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
18．（12分）已知数列是等比数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和，并证明．
19．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张．求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值（元的分布列．
20．（12分）某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如图的折线图：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数
回归直线方程参考公式：，．
（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；
（2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值．（计算结果精确到
21．（12分）已知数列、满足，若数列是等比数列且，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，求的前项和为．
22．（12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
在如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块磁撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中．
①求的分布列；
②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能营利吗？
2021-2022学年广东省深圳外国语学校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（5分）已知正项递增等比数列中，，，则
A．2B．8C．16D．32
【答案】
【分析】根据题意，设正项递增的等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设正项递增的等比数列的公比为，则，
若，则，即，
又由，则，变形可得，
解可得或（舍，
则；
故选：．
【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
2．（5分）若随机变量的分布列如下表：则
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【答案】
【分析】根据分布列的性质求得值，，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，，解得，
，解得或2，
，．
故选：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是基础题．
3．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
【答案】
【分析】仔细观察图象，寻找散点图间的相互关系，主要观察这些散点是否围绕一条曲线附近排列着，由此能够得到正确答案．
【解答】解：散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；
散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；
散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，
散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．
故选：．
【点评】本题考查散点图和相关关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（5分）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150B．200C．300D．400
【答案】
【分析】由已知求出，进一步求出，则答案可求．
【解答】解：，
，
，
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
故选：．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求出基本事件总数和事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可．
【解答】解：设第二次取到的是黑球为事件，
基本事件总数为，
事件包含的基本事件数为，
则（A），
故选：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
6．（5分）已知多项式的展开式中的系数为160，则的值为
A．B．0C．1D．2
【答案】
【分析】对原式子进行变形，利用二项式定理的展开式，即可解出．
【解答】解：，
展开式中的系数为，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
7．（5分）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”； 表示事件“医生乙派往①村庄”； 表示事件“医生乙派往②村庄”，则
A．事件与相互独立B．事件与相互独立
C．D．
【答案】
【分析】由古典概型概率计算公式求出（A），（B），（C），，，再利用相互独立事件的定义能判断；利用条件概率公式计算能判断．
【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件含有的基本事件数为，则（A），
同理（B）（C），
事件含有的基本事件个数为，则，
事件含有的基本事件数为，则，
对于，（A）（B），即事件与相互不独立，故不正确；
对于，（A）（C），即事件与相互不独立，故不正确；
对于，，故不正确；
对于，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）定义空间直角坐标系中的任意点，，的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数．如：，1，，，3，，，2，，若点的坐标，，，1，2，，则所有这些点的“数”的平均值与最小值之差为
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】由题意分恰有3个相同数字的排列，恰有2个相同数字的排列，恰有3个不同数字的排列三种情况讨论，对所求的结果与其对应的数乘积，再结合平均值公式求平均值，再求差．
【解答】解：点的坐标，，，1，2，，分三种情况讨论，
①恰有3个相同数字的排列为种，则，，共有4个，
②恰有2个相同数字的排列为种，则，，共有36个，
③恰有3个不同数字的排列为种，则，，共有24个，
所以点的“数”的平均值为，
平均值与最小值之差为．
故选：．
【点评】本题主要考查了排列与组合的简单计数问题，以及平均值公式应用问题，是中档题．
二．多项选择题（每题5分，共20分。每题有多个选项，漏选可得2分，多选，错选，不选均不得分）
9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，其正态分布密度曲线（正态分布密度曲线是函数的图象）如图所示，则下列说法正确的是
A．甲类水果的平均质量为
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．平均质量分布在，时甲类水果比乙类水果占比大
D．
【答案】
【分析】根据正态密度曲线的性质结合图形逐一分析四个选项得结论．
【解答】解：由图可知甲图象关于对称，，故正确；
甲图象比乙图象更高瘦，故甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故正确；
且平均质量分布在，时甲类水果比乙类水果占比大，故正确；
乙图象的最大值为1.99，即，则，故错误．
故选：．
【点评】本题考查正态密度曲线的性质，考查数形结合思想，是基础题．
10．（5分）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有
A．组成可以有重复数字的四位数有500个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字且百位是奇数的四位偶数有28个
【答案】
【分析】根据题意，利用排列组合知识依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，正确；
对于，四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中，任选3个，排在后面3个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，正确；
对于，若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则有个四位偶数，错误；
对于，当个位数字为0时，有个，
当个位数字不为0时，有个，
所以组成百位是奇数的四位偶数共有个，正确；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11．（5分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题正确的是
A．的最大值为12
B．数列是公差为的等差数列
C．
D．
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式检验各选项即可判断．
【解答】解：等差数列中，设公差为，
因为，，
所以，错误；
所以，
根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最大值12，正确；
当时，显然错误；
是公差为的等差数列，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
12．（5分）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是
A．展开式中奇数项的二项式系数和为512
B．展开式中第7项系数最大
C．展开式中不存在常数项
D．展开式中含的项的系数为45
【答案】
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，
，．
展开式的各项系数之和为，，二项式即，
故展开式中奇数项的二项式系数和为，故正确；
第项为，故当时，该项的系数最大，即第6项的系数最大，故错误；
令，求得无整数解，故展开式中不存在常数项，故正确；
令，故展开式中不存在含的项，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知，若，则 0 ．
【答案】0．
【分析】先根据求出，然后利用赋值法即可．
【解答】解：由题意，解得，
令，则，
所以．
故答案为：0．
【点评】本题考查二项式定理的系数问题，属于基础题．
14．（5分）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为，对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为、、，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是 ．
【分析】求出感染各种毒株有效人数，再求总体有效率．
【解答】解：普通型毒株有效人数为：人．
德尔塔型毒株有效人数为：人．
其他型毒株有效人数为：人．
治疗有效人数为：人，
所以总体有效率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率统计，求出有效总人数是本题的关键．
15．（5分）已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为 14 ．
【答案】14．
【分析】由已知可得，，，然后结合等差数列的性质，求和公式即可求解．
【解答】解：因为等差数列中，，
所以，，，
故，，
则满足的正整数的最大值为14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
16．（5分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为 ．
【答案】．
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：质点移动6次，可能结果共有种，
质若点位于的位置，则质点需要向左移动4次，然后向右移动2次，
则有种，
则对应的概率，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题．
四．解答题（共6小题，满分70分．每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）
17．（10分）已知二项式．
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）240；（2）．
【分析】（1）先求出展开式的通项公式，再令的指数为0，求出即可．
（2）展开式共有7项，得到展开式中二项式系数最大的项为．
【解答】解：（1）展开式的通项公式为，
令，则，
展开式的常数项为．
（2）展开式共有7项，
展开式中二项式系数最大的项为．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到常数项，二项式系数最大的问题，属于中档题．
18．（12分）已知数列是等比数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和，并证明．
【答案】（1）；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式，即可求解；
（2）利用对数运算性质先求，然后利用裂项求和求出，即可证明．
【解答】解：（1）数列是等比数列，，且，，成等差数列；
所以，，即，
解得，，，故；
（2）证明：由（1）得，
所以．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式，裂项求和的应用，属于中档题．
19．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张．求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值（元的分布列．
【答案】（1）；（2）见解答．
【分析】（1）根据对立事件的概率公式，古典概型的概率公式，即可求解；
（2）根据题意可得可能取的为0，10，20，50，60，再分别求出对应取值的概率，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得该顾客中奖的概率为；
（2）根据题意可得可能取的为0，10，20，50，60，
又，
，
，
，
，
的分布列为：
【点评】本题考查对立事件的概率公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的分布列，属基础题．
20．（12分）某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如图的折线图：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数
回归直线方程参考公式：，．
（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；
（2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值．（计算结果精确到
【答案】（1），这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性；
（2），预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.17．
【分析】（1）由相关系数公式求得相关系数的值得结论；
（2）由已知数据求得与的值，可得线性回归方程，取求得值即可．
【解答】解：（1），
，
，
这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性；
（2），
，
关于的线性回归方程为，
取，可得．
故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.17．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
21．（12分）已知数列、满足，若数列是等比数列且，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，求的前项和为．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）设等比数列的公比为，，，时，，求出，当时，，相比可得，结合，可得，．进而得出，再利用，即可得出答案．
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，
，，
当时，，解得，
当时，，
，
，
，解得．
，，
，，
；
（2）由（1）得，，则，
的前项和为，
，
，
．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
22．（12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
在如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块磁撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下．
（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行营利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中．
①求的分布列；
②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能营利吗？
【答案】（1）．
（2）①的分布列为：
②小明同学能盈利．
【分析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为，小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球 落入第7层第6个空隙处的概率．
（2）①的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
②由的分布列，求出奖金的分布列和数学期望，由此能判断小明同学能否盈利．
【解答】解：（1）记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为，
小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，
这个小球 落入第7层第6个空隙处的概率．
（2）①由已知得的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列为：
②，
的可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
．
，
小明同学能盈利．
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、次独立重复试验中事件恰好发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/20 0:09:26；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：298415651
2
3
4
0.1
0.2
0.3
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0
10
20
50
60
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7