2022-2023学年广东省深圳市南方科大附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南方科大附中高二（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）下面空间图形的截面一定是圆面的是
A．圆台B．球C．圆柱D．圆锥
2．（5分）如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是
A．B．C．16D．8
3．（5分）已知两个单位向量的夹角是，则
A．1B．C．2D．
4．（5分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为线段，，，，，的中点，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
5．（5分）在如图所示的半圆中，为直径，点为圆心，为半圆上一点，且，，则等于
A．1B．C．D．2
6．（5分）设复数在复平面内对应的点为，若，则
A．B．C．D．
7．（5分）如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体
8．（5分）甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用表示碳原子的位置，用，，，表示四个氢原子的位置，设，则
A．B．C．D．
二、选择题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（5分）已知复数，则下列结论正确的有
A．在复平面对应的点位于第二象限
B．的虚部是
C．
D．
10．（5分）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是
A．若实数，使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中，为实数
C．对于，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数，，使
11．（5分）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则
A．B．C．D．
12．（5分）在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是
A．三角形的面积无最大值、无最小值
B．存在点，满足平面
C．存在点，满足
D．与所成角的正切值范围为，
三、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知点，，则与向量同方向的单位向量为 ．
14．（5分）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则三角形外接圆半径为 ．
15．（5分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等．且模为1的复数的代数形式 ．
16．（5分）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的，请写出正确判断的序号 ．
①这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面
②一个体积为1立方米的正方体石料最多可以切割出9个这样的石凳（不计损耗）
③这个石凳也可以由一个直径为的球形石料切割而成（不计损耗）
④如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加
四、解答题（本大题包括6小题，第17小题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知，向量，．
（1）如图，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若点为线段的靠近点的三等分点，求点的坐标．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积．
19．（12分）如图，正三棱锥中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，是的中点．求：
（1）的值；
（2）二面角的大小．
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：
（2）若，，求的面积．
21．（12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
22．（12分）如图，某巡逻艇在处发现正东方向30海里的处有一艘走私船正沿东偏北的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北的方向直线追去，并在处拦截．若点在警戒水域内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截．已知为的中点．
（1）若，求；
（2）若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值．
2022-2023学年广东省深圳市南方科大附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）
1．（5分）下面空间图形的截面一定是圆面的是
A．圆台B．球C．圆柱D．圆锥
【答案】
【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可．
【解答】解：对于：圆台的截面可能是等腰梯形，故错误；
对于：球的截面一定是圆面，故正确；
对于：圆柱的截面可能是矩形，故错误；
对于：圆锥的截面可能是等腰三角形，故错误．
故选：．
【点评】本题考查几何体的结构特征，属于基础题．
2．（5分）如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是
A．B．C．16D．8
【答案】
【分析】根据斜二测画法规则求出，，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积．
【解答】解：在正方形中可得，
由斜二测画法可知，，
且，，，
所以四边形为平行四边形，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
3．（5分）已知两个单位向量的夹角是，则
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】根据向量模的运算法则运算求解即可．
【解答】解：因为两个单位向量的夹角是，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为线段，，，，，的中点，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，由已知可证，，从而得解正确．
【解答】解：如图，，，，，，分别为线段，，，，，的中点，
，，
．正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了线线平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于基础题．
5．（5分）在如图所示的半圆中，为直径，点为圆心，为半圆上一点，且，，则等于
A．1B．C．D．2
【答案】
【分析】根据，可得，进一步得出答案．
【解答】解：如图，
连接，
由，得．
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
6．（5分）设复数在复平面内对应的点为，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解．
【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，
所以，
因为，所以，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
7．（5分）如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体
【答案】
【分析】画出图形，根据图形和四棱锥的结构特征，即可得出剩余几何体是什么图形．
【解答】解：如图所示，
三棱台中，沿截去三棱锥，
剩余部分是四棱锥．
故选：．
【点评】本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目．
8．（5分）甲烷分子式为，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用表示碳原子的位置，用，，，表示四个氢原子的位置，设，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理求得，再由二倍角公式得答案．
【解答】解：由题意可知，，，，表示正四面体的四个顶点，
设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，
正四面体外接球的半径为．
，
．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查二倍角公式，是基础题．
二、选择题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（5分）已知复数，则下列结论正确的有
A．在复平面对应的点位于第二象限
B．的虚部是
C．
D．
【答案】
【分析】先利用复数的除法运算求出，然后由复数的几何意义判断选项，由虚部的定义判断选项，由模的定义判断选项，由共轭复数的定义判断选项．
【解答】解：，
则在复平面对应的点位于第二象限，故选项正确；
的虚部是1，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，虚部的定义，模的定义以及共轭复数的定义，属于基础题．
10．（5分）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是
A．若实数，使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中，为实数
C．对于，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数，，使
【答案】
【分析】根据基底的定义逐项判断即可．
【解答】解：根据基底的定义知正确；
对于，对于，，在该平面内，故错误，
对于，，是唯一的，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题．
11．（5分）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】运用韦达定理解得、的值，再运用余弦定理求得的值，进而判断各个选项．
【解答】解：因为，所以．
又因为，是方程的两个根，
所以，解得：，
所以．
根据余弦定理可得，解得：或（舍去），
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12．（5分）在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），则下列说法中正确的是
A．三角形的面积无最大值、无最小值
B．存在点，满足平面
C．存在点，满足
D．与所成角的正切值范围为，
【答案】
【分析】判断到的距离，即可判断三角形面积的最值，判断的正误；
通过平面与平面平行，说明直线与平面平行，即可判断的正误；
利用求与平面的交点，即可判断的正误；
求解与所成角的正切值范围，判断的正误；
【解答】解：是侧面上的一个动点（不包含四个顶点），可知到的距离没有最大值，有最小值，
所以三角形的面积无最大值、有最小值，所以不正确；
平面平面，所以在上时，满足平面，所以正确；
以为直接的球，与平面有交点，交点就是，存在点，
满足，所以正确；
与所成角的正切值的最小值为：，最大值为：，
与所成角的正切值范围为，，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查空间直线与直线以及直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
三、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知点，，则与向量同方向的单位向量为 ．
【答案】．
【分析】计算出，求出即为答案．
【解答】解：，其中，
则与向量同方向的单位向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
14．（5分）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则三角形外接圆半径为 ．
【答案】．
【分析】运用正弦定理进行求解即可．
【解答】解：因为，，
由正弦定理可知的外接圆半径为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
15．（5分）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等．且模为1的复数的代数形式 ．
【答案】．
【分析】根据复平面上向量对应的复数求出，，再由复数除法求出的虚部，利用复数模求解即可．
【解答】解：因为向量，，
所以，，
故，
则可设，
由，解得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题．
16．（5分）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的，请写出正确判断的序号 ①②④ ．
①这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面
②一个体积为1立方米的正方体石料最多可以切割出9个这样的石凳（不计损耗）
③这个石凳也可以由一个直径为的球形石料切割而成（不计损耗）
④如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加
【答案】①②④．
【分析】利用“阿基米德多面体”与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断是否正确；根据题意先求出一个“阿基米德多面体”的体积，再根据体积关系即可判断是否正确；求出棱长为的正方体的外接球的直径，该球的直径也是“阿基米德多面体”外接球的直径，将该直径与比较，由此即可判断是否正确；根据等体积法求出每个三棱锥的高，再根据正方体的体积公式，可求出两个三角形所在平面的距离，将其与正方体的棱长比较，即可判断是否正确．
【解答】解：观察所得的几何体可知，几何体有24条棱、12个顶点、14个面，故①正确；
由题意可知，“阿基米德多面体”体积为原正方体体积减去8个三棱锥体积，
设原正方体的棱长为，则8个三棱锥体积为，所以“阿基米德多面体”体积为，
又石凳的高度为，所以原正方体的棱长，所以“阿基米德多面体”体积为，
又1立方米等于，所以，
所以一个体积为1立方米的正方体石料最多可以切割出9个这样的石凳（不计损耗），故②正确；
原正方体的棱长，则其外接球的直径为，又，所以一个直径为的球形石料切割不成该几何体（不计损耗），故③错误；
设原正方体的棱长为，则每个三棱锥是底面边长为的正三角形，侧棱长，且两两互相垂直的三棱锥，设顶点到正三角形的距离为，
由三棱锥的体积可知，解得，
所以两个对角上的正三角形所在面的距离为，
由题意可知，如果“阿基米德多面体”按照图2放置，则高度为，
所以如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度为，所以高度会增加，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
四、解答题（本大题包括6小题，第17小题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知，向量，．
（1）如图，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若点为线段的靠近点的三等分点，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标；
（2）设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）设，则，且，
四边形为平行四边形，
，
，，，，，；
（2）设，则，
点为线段的靠近点的三等分点，
，即，
，解得，
．
【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积．
【分析】（1）法一、过作交于点，连接．由已知可得．又，且，可得，，则四边形为平行四边形，得到．再由线面平行的判定可得平面．
法二、过点作于点，为垂足，连接．由已知可证得四边形为平行四边形，则．由线面垂直的性质可得．结合，得到．再由面面平行的判定可得平面平面．从而得到平面；
（2）过作的垂线，垂足为．可得平面．由（1）知，平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，然后利用等积法求得三棱锥的体积．
【解答】（1）证明：法一、过作交于点，连接．
，．
又，且，
，，则四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
法二、过点作于点，为垂足，连接．
由题意，，则，
又，，，，
四边形为平行四边形，则．
平面，平面，．
又，．
又平面，平面，；
平面，平面，；
平面平面．
平面，平面；
（2）解：过作的垂线，垂足为．
平面，平面，．
又平面，平面，．
平面．
由（1）知，平面，
到平面的距离等于到平面的距离，即．
在中，，，．
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19．（12分）如图，正三棱锥中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，是的中点．求：
（1）的值；
（2）二面角的大小．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）证明知，与分别是同底的两个三角形的高，故两线段长度的比即它们相应三角形面积的比，由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，三个侧面面积相等，易得两三角形的面积比；
（2）由（1）知，角即二面角的平面角，故在三角形中求解即可．
【解答】解：（1），，为的中点，
，．
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
，得．
（2）作正三棱锥的高，
则为正三角形的中心，在上，．
，，
是二面角的平面角．
在中，
，
，
即二面角的大小为．
【点评】本题的考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查根据几何体的几何特征求二面角，化归转化思想，属中档题．
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）根据正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得，可证明；
（2）结合（1）得．，利用正弦定理及面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：因为，所以，
所以，
所以，
即，
因为在中、、，所以，
即，
故，即；
（2）解：由（1）可知，
因为，所以．则，，
由正弦定理可知．则．，
故的面积．
【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理与三角函数公式的应用，属中档题．
21．（12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）连接交于，连接，证明，，得出平面，即可证明平面平面．
（2）由题意得出为与平面所成的角，利用直角三角形计算的值即可．
【解答】（1）证明：连接交于，连接，易得为，的中点．
平面，平面，
．
又为中点，，
．
同理可得，
．
连接，同理可得，
．
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：易得，
由（1）平面平面，
平面平面，平面，
平面．
即为与平面所成的角．
在△中，，
在△中，．
所以与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定定理应用问题，也考查了直线与平面所成的角计算问题，是中档题．
22．（12分）如图，某巡逻艇在处发现正东方向30海里的处有一艘走私船正沿东偏北的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北的方向直线追去，并在处拦截．若点在警戒水域内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截．已知为的中点．
（1）若，求；
（2）若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）当警戒水域的宽的最小值为20海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截．
【分析】（1）确定，根据正弦定理计算，即可得出答案．
（2）设，则，确定，根据余弦定理得到，确定，利用二次函数性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，由于巡逻艇速度是走私船速度的2倍，则，
由正弦定理得，
；
（2）设，则，则，解得，
由余弦定理得，，
过作交于，如图所示：
则，
由题意得对任意恒成立，
则，当且仅当时等号成立，
当警戒水域的宽的最小值为20海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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