浙江省绍兴市柯桥区柯桥区秋瑾中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选B
2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( )
A. 6.4×10－5B. 6.4×106C. 6.4×10－6D. 6.4×105
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除底数不变指数相减以及完全平方公式，积的乘方，根据运算运算法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为，据此即可得出表面积．
【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．
∴正三角形的边长．
∴圆锥的底面圆半径是，母线长是，
∴底面周长为
∴侧面积为，
∵底面积为，
∴全面积是．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5. 某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 众数
【答案】A
【解析】
【分析】利用中位数、平均数、方差、众数的定义来求解即可.
【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差、众数的定义，属于基础题型.
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等”知点P是∠ABC的平分线与AC的交点，据此可得答案．
【详解】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的性质和尺规作图．
7. 如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据“直径所对的圆周角是直角”得出，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出，最后根据“直角三角形两个锐角互余”得出答案．
【详解】如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
8. 已知二次函数，与的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数图象从左到右上升B. 抛物线开口向上
C. 方程的一个根在与之间D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数性质即可判断A，B；时，；时，即可判断C，根据对称轴可知当时，，判断D．
【详解】解：和时的函数值相同，都是2，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点为，
是函数的最大值，
抛物线的开口向下，当时，随的增大而减小，即当时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
时，；时，，
方程的一个根在与之间，
所以C正确，
从表格中发现与关于直线对称，
∴，
∴D错误，
故选：C．
9. 如图，在中，，于点，点在线段上，点是边的中点，连接，作，点在边上，若，，则（ ）
A. 当时，点与点重合B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】选项C正确．如图，作于，于，先根据勾股定理求出，对运用等面积法求出，，利用以及，得到即可求解．
【详解】解：当时，如图，作于，于．
在中，
，，，
，
，
，
．
∵ ，
∴点Q中点，而点M为中点，
∴为中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
设，则，
∵，于，于，
∴，
而，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，而，
∴，
∴点P与点D不重合，故A不符合题意；
此时，
∴，故B选项不符合题意；
由得，
∴，故D不符合题意．
如图，作于，于．
在中，，，，
，
，
，
．
，，
，
当时，，
，
，，
，
，
，
，设，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选项C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10. 将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（ ）
A. 的面积
B. 的面积
C. 平行四边形的面积
D. 剩余部分的面积之和与正方形面积和
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据等边对等角，正方形的性质，得到，进而得到，推出，得到，设阴影部分的面积为，即可求出的面积，延长交于点，则四边形为矩形，进而可求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可求出剩余部分的面积之和与正方形面积和，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设阴影部分的面积为，
则：，
∵平行四边形，
∴，
∴和全等，
∴，
∴，
故的面积可求；
∴，
延长交于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
故平行四边形的面积可求；
∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求；
故只有的面积无法求出；
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造平行线和特殊图形．
二、填空题（本题有6小题．每小题4分，共24分）
11. 因式分解：=______．
【答案】3（x+3）（x﹣3）
【解析】
【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3），
故答案为3（x+3）（x﹣3）．
12. 已知点位于第二象限，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：∵点（-1，a-3）位于第二象限，
∴a-3＞0．
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
13. 直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查两直线的交点问题，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键．
14. 如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点．当的面积为时，k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】解：∵点E为的中点，
∴的面积的面积，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15. 若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由题意得：时，，时，，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为，在k的取值范围内计算出的取值范围，即可得到顶点到x轴距离h的取值范围．
【详解】解：由题意得：时，，时，，
即：，
解得：，
二次函数，
顶点的纵坐标为：，
，
又，
当时，在时，取得最大值，即：当时，，
在时，取得最小值，即：当时，，
即：图象的顶点到x轴的距离h的最小值是，图象的顶点到x轴的距离h的最大值是，
h的取值范围是，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解．
【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，即，
，，
，
，（当P、G、D三点共线时取等号）
，
最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质等知识，构造是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握基础运算的运算法则是解本题的关键；
（1）先计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
18. 某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）________，________，并补全条形统计图；
（2）若全校共有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱乒乓球；
（3）在抽查的名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中，选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、乙的概率．
【答案】（1）100，5，见解析；（2）400人；（3）．
【解析】
【分析】（1）先根据篮球30人占30%可求得总人数m，然后根据排球的人数计算出n，再求出足球人数，最后补全条形统计图即可；
（2）用样本估计总体的思想解答即可；
（3）画出树状图，共有12种可能出现的结果，同时选中甲、乙的结果有2种，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由题意m=30÷30%=100，
选择排球的人数所占的百分比为：5÷100×100%=5%，即n=5，
选择足球的人数为：100-30-20-10-5=35（人），
故填100、5；
补全条形统计图如图所示：
（2）由乒乓球所占的百分比为：20÷100×100%=20%
则该校喜欢乒乓球的大约约有2000×20%=400名；
答：该校喜欢乒乓球的大约约有400名学生；
（3）由题意可得树状图如下：
由树状图可知：共有12种可能出现的结果，同时选中甲、乙的结果有2种，则同时选中甲、乙的概率为=．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，申清题意、找出所求问题需要的条件并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
19. 水龙头关团不严会通成滴水．现用一个含有显示水量的圆柱形水杯接水做如图1的试验，研究水杯内盛水量与滴水时间的关系，根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若杯子容积为，计算杯子最多可以接多少时间的水？
【答案】（1）；（2）4个小时
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将代入，即可求解；
（2）根据被子的容积为，说明杯子只能接小于或等于的水，结合（1）中的一次函数解析式即可求解；
【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为
将代入可得：
解得：
与之间的函数关系式为
（2）由解析式可得，当时，，

答：杯子最多可盛水4个小时
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用问题，熟练掌握一次函数的解析式求法，并充分理解题意是求解本题的关键.
20. 如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
（1）转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
（2）将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】（1）
（2）减少了
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【小问1详解】
如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
21. 如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．
（1）求证明：AD是⊙D的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE＝4．
【解析】
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵E为BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可，还考查了垂径定理，直角三角形的性质．
22. 在中，，在射线上取点D，E，且，作，使．

（1）如图，当点D在线段上时，且．
①若，求的度数．
②若，求的度数．
（2）当点D在延长线上时，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）．理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由，，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可；②求解过程同①；
（2）如图，设，．则，由，可得，由，，可得，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
①解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为；
②解：当时，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为；
【小问2详解】
解：．理由如下：
如图，设，．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】【任务1】；【任务2】（－4.2，1.8）；【任务3】6米
【解析】
【分析】任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
任务2：令上述抛物线，得，求出，再依据即可得出结论；
任务3：设，根据题意得从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把把代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴即．
任务2：令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为．
任务3：
如图2．
设，从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或1.2（舍去），
∴，
把代入得，
∴喷水装置OP的高度为6米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
24. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

（1）如图1，在四边形中，，连结，点是的中点，连结，．
①试判断四边形是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若，求的度数；
（2）如图2，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点，连结．若，，，求的长．
【答案】（1）①四边形双等腰四边形，理由见解析；②；
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明；
②解法1：根据等边对等角，可得，，结合即可求解；
解法2：根据四点共圆的判定和性质，结合，即可求解；
（2）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得
即，求解即可；
当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可．
【小问1详解】
∵，点是的中点
∴
同理，
∴，且是四边形的对角线
∴ 四边形是双等腰四边形
②解法1：
∵
∴，
∵
∴
∴
解法2：
∵
∴ 点、、、共圆
∵
∴
∴
【小问2详解】
如图1，当时，过点作于点，延长交于点

∵
∴
∴
∴
∴，，，
设，
则，，，
∵
∴
∴
∴
解得，
∴
如图2，当时，过点作于点

由②可知，
∴是等腰直角三角形
∵
∴
∴，
设，
则，
在中，
即
解得
∴
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质．0
1
2
2
3
2
？
如何设计喷水装置的高度？
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2
如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：
①水柱的最高点与点P的高度差为；
②不能碰到图2中的水柱；
③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
探究落水点位置
在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3
拟定喷水装置的高度
求出喷水装置的高度．