2024年上海市青浦区中考二模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市青浦区中考二模数学试卷含详解，共28页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题等内容，欢迎下载使用。

（时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a2＝a4B. （2a）3＝6a3
C. 3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D. 4a6÷2a2＝2a3．
3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A B. C. D.
4. 某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变小
C. 平均数不变，方差变大D. 平均数变小，方差不变．
5. 已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7. 分解因式：_______．
8. 方程的解是_______．
9. 函数 的定义域是________．
10. 如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是_______．
11. 如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．
12. 甲、乙两位同学分别在三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．
13. 某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A等级．
成绩频数分布表
成绩扇形统计图
14. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距高为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示）
15. 如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．
16. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是_______度．
17. 正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为_______．
18. 在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么半径长r的取值范围是_______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19. 计算：．
20. 解方程组：
21. 如图，是的直径，与相交于点E，弦与弦相等，且．
（1）求的度数；
（2）如果，求的长．
22. 某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
23. 已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且．
（1）求证：四边形菱形；
（2）延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点．
（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
（2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积；
（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
25. 在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F．
（1）如图，当点D在线段上时．
①设，求；（用含式子表示）
②当时，求的值；
（2）如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长．
2023学年第二学期九年级学业质量调研
数学 试卷
（时间100分钟，满分150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，
B、与不是同类二次根式，
C、与是同类二次根式，
D、与不是同类二次根式.
故选C．
【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a2＝a4B. （2a）3＝6a3
C. 3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D. 4a6÷2a2＝2a3．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得．
【详解】A．a2+a2＝2a2，此选项错误；
B．（2a）3＝8a3，此选项错误；
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5，此选项正确；
D．4a6÷2a2＝2a4，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则，积的乘方法则，及单项式的乘法和除法法则．
3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．
【详解】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；
B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；
C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；
D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；
故选：A．
4. 某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变小
C. 平均数不变，方差变大D. 平均数变小，方差不变．
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
∴平均数不变，方差变小，
故选：B．
5. 已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出．
【详解】
A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误；
B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误；
C、∵，
∴，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，
∴四边形等腰梯形．
D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误；
故选C．
6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过O作的垂线交于点与相交于点F，且，那么下列结论的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意可知，垂直平分，则，可判断A的正误；由，，，，可得，可判断B的正误；证明，则，即，可得，进而可判断C的正误；证明，可得，进而可判断D的正误．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，A正确，故不符合要求；
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，B正确，故不符合要求；
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，C正确，故不符合要求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7. 分解因式：_______．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 方程的解是_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
9. 函数 的定义域是________．
【答案】x≠－1
【分析】根据分母不为零，即可求得定义域．
【详解】解：由题意，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围，即函数的定义域，对于分母中含有未知数的函数解析式，必须考虑其分母不为零．
10. 如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据方程的即可解答．
【详解】解：方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】将抛物线向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是．
故答案：．
12. 甲、乙两位同学分别在三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，
故他们选择同一个景点的概率是：，
故答案为：．
13. 某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A等级．
成绩频数分布表
成绩扇形统计图
【答案】
【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用乘以A等级人数的占比即可求解．
【详解】解：本次抽取的人数为人，
∴A等级的人数为人，
估计该校共有达到A等级的学生数为人，
故答案为：．
14. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距高为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示，
则，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米．
故答案为：
15. 如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可．
【详解】解：连接，
∵中线相交于点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】
16. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是_______度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键．
根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴多边形的外角为，
∴多边形的边数为：，
∴正多边形的中心角是，
故答案为：．
17. 正方形的边长为为边的中点，点F在边上，将沿直线翻折，使点D落在点G处，如果，那么线段的长为_______．
【答案】##0.25
【分析】本题考查正方形的折叠，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
连接，证明，可得，然后得到即可解题．
【详解】如图，连接，
由翻折可得：，，，
又∵E为边的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得．
故答案为：
18. 在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，由已知可以得到r的取值范围即可．
【详解】解：过点O作于点E，
∵是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵与有公共点，且与边没有公共点，
∴，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19. 计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，分数指数幂，化简二次根式，先计算分数指数幂和零指数幂，利用平方差公式进行二次根式和化简，最后算加减．
【详解】解：
．
20. 解方程组：
【答案】，
【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．
因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组．
【详解】解：由②得：，
即或，
把代入①得，；
把代入①得，；
∴方程组的解为：，．
21. 如图，是的直径，与相交于点E，弦与弦相等，且．
（1）求的度数；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理， 圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理可得， 从而可得然后利用等量代换可得从而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答；
（2）连接，根据垂径定理可得从而可得再利用直角三角形的两个锐角互余可得然后利用圆周角定理可得 再在. 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【小问1详解】
连接，
∵是的直径， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
【小问2详解】
连接，
∵是的直径， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
22. 某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
【答案】（1）
（2）共有种租车方案
（3）租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元
【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可；
（2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案；
（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．
【小问1详解】
租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
；
【小问2详解】
∵租车总费用不超过元，师生共有人,
，
解得 ，
∵为整数,
∴可取
∴一共有种租车方案；
【小问3详解】
在中，随的增大而增大, 又可取,
∴当时，取最小值，最小值为(元),
∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元．
23. 已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形；
（2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明
【小问1详解】
)证明: ∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形，
∵,
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：根据题意作图如下，
∵四边形是菱形,
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
，
，
∵,
∴,
，
∴,
∴, 且,
∴,
∵,
∴
∴,
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点．
（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
（2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积；
（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求；
（2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：将、代入得，，
解得，，
∴，
当时，，即；
【小问2详解】
解：如图1，作于，记与的交点为，

设，则，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴，
∴的面积为；
小问3详解】
解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，
∵，，
∴，
∴点即为所求，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得，，
解得，舍去或，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．
25. 在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F．
（1）如图，当点D在线段上时．
①设，求；（用含的式子表示）
②当时，求的值；
（2）如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长．
【答案】（1）① ②
（2）
【分析】（1）①根据等边对等角得到，，然后根据四边形的内角和是计算解题；
②先根据得到，然后推导，得到，可以求出长，过点A作于点G，然后求出值即可；
（2）设交于点H，设，则，然后证明，得到，然后根据平行线分线段成比例得到，，再根据，就可得到，代入数值即可解题．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，解得：或（舍）；
过点A作于点G，
则，
∴；
【小问2详解】
解：设交于点H，设，
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，即，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
等第
成绩x
频数
A
n
B
117
C
32
D
8
型号
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
甲
45
1500
乙
33
1200
等第
成绩x
频数
A
n
B
117
C
32
D
8
型号
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
甲
45
1500
乙
33
1200