专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生及教师版）

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【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】
【题型2 裂项相消巧妙变形问题】
【题型3 分组求和必记常见结论】
【题型4 含类求和问题】
【题型5 含绝对值求和问题】
数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》
注意：列举时最后一项必须是
已知{}的首项，，（）求通项公式。
解：第一步：作差
第二步：列举
。。。。。。。。。。。

左侧右侧
第三步：求和
口诀：左左加 右右加，相互抵消用等差
∴
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解→简称《构造法》
结论:
已知数列中, ,,求的通项公式.
解:第一步：秒求所配系数 ==1
第二步：寻找新的等比数列 ,是首项为,公比为2的等比数列,
第三步：求新数列的通项 即
第四步 反解
验证：当也成立
故答案为：
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项 第四步 反解→简称《构造法》
结论:
已知：，时，，求的通项公式。
解：第一步：秒求所配系数
设
∴ 秒求
解得：
∴
第二步：寻找新的等比数列
∴ 是以3为首项，为公比的等比数列
第三步：求新数列的通项
∴
第四步 反解 ∴ 验证：当时通项也成立
故答案为：
当高考数列大题出现《与 》或《与》递推关系，关系式中系数不为1且还存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六步 反解→简称《直接除+构造法》
结论 ：
已知中，，（）求。
第一步：等式两边直接同除以
由得
第二步：寻找新的数列
∴ 成等差数列，
验证：当也成立故答案为 ∴
型，可化为的形式。
待定系数法，其中
在数列{}中，，当， ① 求通项公式.
解：
①第一步：秒出系数
①式可化为：

比较系数得，不妨取.①式可化为：
第二步：出现新的等比数列
则是一个等比数列，首项，公比为3.
第三步：求新等比数列通项
∴.利用上题结果有：
第四步：反解.
题型1 错位相减求和无需错位直接出答案
错位相减；
形式必须是
则
求和：
秒杀1 卷子上书写
第一步：寻找标准形式
可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积
第二步：列举
①
………………②
①－②得 ？
第三步：利用结论秒求草稿纸上书写


第四步：化解结论求卷子上书写
秒杀2卷子上书写
第一步：寻找标准形式
可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积
第二步：列举
①
………………②
①－②得 ？
第三步：利用结论秒求草稿纸上书写

则
其中或
第四步：化解结论求卷子上书写
已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：秒杀1 卷子上书写
（1）快速求解通项
当时，；
当时，.
不适合.
综上所述，；
⑵第一步：寻找标准形式
由（1）可得.
第二步：列举
当时，；
当时，①，
得②，
①－②得 ？
第三步：利用结论秒求草稿纸上书写


第四步：化解结论求卷子上书写
，满足，
因此，.
1．已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，，并求的通项公式；
(2)记求.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解法一：因为，，
所以，当时，，，所以.
当时，，，所以.
当时，
，所以
当时，也符合上式.
综上，
解法二：因为，，，
所以，当时，，，所以.
当时，，，所以.
因为，
所以，即.
所以，即.
又，所以
（2）解法一：由（1）得，即
记
则①，
②
①-②，得，
所以，
故.
解法二：由（1）得，即.
记，
则
.
故.
2．记.
(1)当时，为数列的前项和，求的通项公式；
(2)记是的导函数，求.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）当时，.
当时，.
又当时，不满足上式，所以
（2）
①
②
①-②得，
3．设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
因为，可得，解得，
又因为，可得，
又由且，可得，解得（负值舍去），
所以.
（2）（ⅰ）证明：由，可得，
所以，
则.
（ⅰⅰ）解：由，可得，
则
，
可得，
则，
两式相减得，
，
所以，即
4．已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，即，即，化简为，
因为，所以，
因为，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，又
故在是减函数，，
所以当时，.
5．设等比数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
而，因此，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
则，
于是，
两式相减得，
即.
6．已知数列的前项和为.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意，
当时，，
从而，
当时，也满足，故.
（2）由（1）可知，
所以，
从而，
所以，
所以数列的前项和.
7．设数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意知数列满足：，，
则
，，故为首项是6，公比为2的等比数列，
故，即，
适合上述结果，故；
（2）设，
则，
设，故；
，
，
作差得到，
故，
，
故.
8．已知是各项均为正数的数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，
当时，，解得或（舍去），
当时，，
∴，
∵，∴
∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴.
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
两式相减得，
∴
裂项相消巧妙变形问题
裂项相消求和
① ②
③ ④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨⑩
在数列中，，又，求数列的前项的和.
解：第一步：裂项
∵ ∴
第二步：裂项求和
∴ 数列的前项和

＝ ＝
求证：
证明：第一步：裂项
设
∵
第二步：裂项求和
∴＝＝＝
∴ 原等式成立
已知，若数列的前项和，则________．
解：第一步：裂项
因为，
第二步：裂项求和
所以
，
因此，即.
1．已知是等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且，求的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为成等比数列，
所以，解得．
又是等差数列，，所以公差，
故.
（2）由，得，
所以,又,
当时，
,
又也适合上式，所以,则,
所以.
2．在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，
【答案】(1)(2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为正项等比数列中，，所以.
又因为，所以，进而公比，所以.
（2）（i）因为，
所以，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.
所以，即.
（ii）.
当时，左式，右式，左式＝右式.
当时，
下面先证明，
，
令，，
，
，，又，
，即，又，
所以.
.
所以
.
即.
综上：当时， .
3．已知各项均为正数的等比数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．求证：．
【答案】(1)；(2)证明见详解.
【详解】（1）记数列的公比为，
则，解得，所以.
（2）由（1）可得，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.
4．已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【详解】（1）解法一：设的公差为，
由①，得②，
则②-①得，
即，又，则；
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，又，则；
（2）由得，即，
所以，
又即，则，因此
则
．
5．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）数列的前项和为，
当时，
当时，所以，
又当时，也成立，数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
设数列的前项和为，
则
.
6．已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，所以的通项公式是.
（2）由（1）知：，
所以
.
7．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）由①，
当时，解得，
当时，②，
①-②，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，
．经验证符合上式，所以．
（2）由（1）知，
，．
则，
故
，
所以，，，
故.
8．设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，即．
当时，，
又适合上式，所以．
（2），
故
．
分组求和必记常见结论
①等差数列求和公式：
②等比数列求和公式：
③ ④
⑤
求数列的前项和：，
解：第一步：分组
设
将其每一项拆开再重新组合得

第二步：分组求和
当时，＝
当时，＝
求数列的前项和.
解：第一步：分组
设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
＝
第二步：分组求和

＝
记正项等比数列满足，.等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）快速求解通项 设的公比为，的公差为
， ，即，
，，，解得或（舍去），
，，
，，，；
第一步：分组
依题意，，
第二步：分组求和
数列的前项和为，
数列的前项和为
，
故.
1．已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【详解】（1）选①，当时，，即，
当时，（I），
（II），
（I）（II）得：，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
选②，当时，，即,
当时，，即,
当时，符合上式.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
（2）因为，所以，
所以
.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.
【答案】(1)(2)11
【详解】（1）依题意，①
当时，，②.
①②两式相减得，即，
因为，所以，即，
所以是公差为1的等差数列，
又，故数列的通项公式为.
（2）依题意，即，因为，
所以满足不等式的正整数个数为，即，.
，
因为，所以单调递增，
当时，，
当时，，
所以的最小值为11.
3．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
则，
故，
，
而随的增大而减小，
所以，
随的增大而增大，
所以，
因为对任意的，都有，
所以.
4．已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，，.
易知，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）由（1）可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证，
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
5．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，当时，；
当时，由得，，
两式作差可得，，
也适合该式，故；
（2）证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
6．已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，所以，
又，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，
由于，所以，
所以
.
7．在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）等差数列中，由，得，而，解得，
因此数列的公差，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，由，得，整理得，
因此正整数满足，从而得，
所以的前k项和为.
8．已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，
依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
显然，随着的增大而增大，
，
，
所以满足的最大整数.
含类进行求和问题
我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下：
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；
第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由
求出 ；
第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.
第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
已知数列的通项公式，求数列的前项和.
解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式
不难发现，数列的项依次为 间隔出现，所以,
第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，
由求出
①当为偶数时,
第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.
②当为奇数且时，
第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
③当 时,
综上，
已知数列的通项公式，求数列的前项和.
解：
第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式；
因为当为奇数时，
第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由求出 ；
①当为偶数时,
第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出.
②当为奇数且时，
第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示
③当 时,
又因为适合当为奇数且时.
综上，
1．已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
则，
故，
，
而随的增大而减小，
所以，
随的增大而增大，
所以，因为对任意的，都有，
所以.
2．已知数列是递增数列，前项和为，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为当时，，则，所以，
两式相减可得，整理得，
即.
因为是递增数列，且，所以，
则，即，
所以数列是公差为的等差数列，即，
经检验时成立，则.
（2）由（1）知.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
3．在数列中，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)；(2)220.
【详解】（1）因为，所以.
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，
所以.
当时，
，
当时，也满足上式，所以.
（2）由（1）知，.
当时，
.
4．已知数列满足：，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【详解】（1）显然，由得，
又，则数列是首项为1，公差为的等差数列.
由，得.
（2）由（1）可知，
所以
.
5．设是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，两式相减得，
即，又，
数列是首项为1，公比为3的等比数列.
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
，
当为偶数时，；当为奇数时，，
.
6．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和：
(3)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）设数列的公比为，则由条件得，
又，可得，则，
因为，解得，故．
对于，当时，，
当时，由得，
所以可得，可得，且也适合，故，
所以，，即和的通项公式分别为，.
（2）因为，
所以
．
（3）由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
，
所以.
7．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设的公差为，则解得所以.
（2）（方法一）
.
（方法二）当为偶数时，
当为奇数时，.
综上，
8．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，，
又，则，即，
而，解得，因此；
数列中，当时，，由，
得当时，，
两式相减得，即，显然满足上式，因此，
所以数列和的通项公式分别为.
（2）由（1）知，，，
因此当为偶数时，
，
当为奇数时，，
所以数列的前n项和.
含绝对值求和问题
给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时
如果数列为等差数列，为其前项和，那么有：
①若则有

②若则有
如果数列为等比数列，为其前项和，那么有：

已知各项都为正数的等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求.
解：(1)快速求解通项
设各项都为正数的等比数列的公比为，则，
因为，，
所以，解得，，所以，
(2)第一步：秒求临界
由(1)知，，故，
第二步：利用结论
当时，；
当时，，
故.
已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的值.
解：(1)快速求解通项
公差为
成等比数列，解得或
当时，；当时，， 故或.
(2)第一步：秒求临界
∵0，∴=-1，此时．
第二步：利用结论
当时，
当时，
在公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解：(1)快速求解通项
设公差为，由、、成等比数列，
得.解得.所以.
(2)第一步：秒求临界
因为所以.
第二步：利用结论
当时，
，所以.
当时，
，所以.
∴.
1．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
2．设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，，
解得，，故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
3．已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
【详解】（1）设等差数列的公差为，且．
选择①：（1）因为，所以，解得．
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
选择②：因为，可得，
因为，所以，此时，所以，
因为，所以单调递增，且当时，．
所以当或11时，最小，此时.
选择③：因为，所以，即，所以，
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
（2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，，
所以
.
若选择②：由（1）知，且当时，，且，
所以
.
4．已知正项等比数列满足是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，又，所以，解得，
设的公比为，因为是与的等差中项，
所以，即，解得，
从而，故等比数列的通项公式是；
（2）由（1）知，所以，
，
设的前项和为，
当时，易知数列是首项为6，公差为的等差数列，
所以，
当时，易知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
，
所以数列的前项和．
5．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
因为与的等比中项为2，所以，
则，解得（舍去），
所以，所以（舍去）
所以；
（2）由（1）得，
令，则，令，则，
当时，，
当时，
，
综上所述，.
6．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设的公差为d，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
故，
（2）依题意，．
当时，，故；
当时，，
故故
7．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1），，，
又，，成等比数列，所以，
化简得，解得或，又，所以，
可得数列的通项公式；
（2）由（1）得，由，得，
由，得，设数列的前n项和为，
所以
，
所以.
8．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，所以，
所以，
又满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.