湖北省武汉市武昌七校联考2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市武昌七校联考2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 习近乎总书记指出：发展新能汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能汽车的标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和为，这是随机事件
B. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
C. 从，，，，中任取一个数是偶数的可能性比较大
D. 直径是圆中最长的弦
答案：D
解析：解：根据题意得：
选项中，任意画一个三角形，其内角和为，这是不可能事件，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数可能是次，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，从，，，，中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，直径是圆中最长的弦，原说法正确，故符合题意．
故选：．
3. 已知m，n是方程的两根，则（ ）
A. 8B. 7C. 9D. 6
答案：C
解析：解已知m，n是方程的两根，
，，，
，
，
=，
=，
=，
=
故选：C．
4. 如图，点A，B，C，D，E在上，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向上平移2个单位为．
故选：A．
6. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故选D．
7. 已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线经过点，，，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
当时，离对称轴越远，函数值越大，则，
∴，
∴，
当时，离对称轴越远，函数值越小，则，
∴，
∴，
综上所述，下列不等式一定成立的是D，
故选：D．
8. 我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（ ）．
A. B. C. D.
答案：C
解析：
设小正方形的边长为x
∵a＝2，b＝3
∴AB＝2+3＝5
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2
∴（2+x）2+（x+3）2＝52
∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去）
∴
∴，阴影面积
∴针尖落在阴影域内的概率＝
故选：C．
9. 如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（ ）

A. B. C. 14D.
答案：D
解析：取的中点G，连接，．
由已知得，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
要求最小，就是求最小，
即．
作，交延长线于点H，
∵，
∴．
在中，，，
∴，，
∴．
在中，．
所以的最小值是．
故选：D．

10. 已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A. B. 或C. 或D.
答案：D
解析：解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故选：D．
二、填空题：
11. 点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为______．
答案：
解析：解：∵点和点关于原点中心对称，点坐标为，
点坐标为，
故答案为：．
12. 从编号为1到10的10张卡片中任取1张，所得编号是3的倍数的概率为________．
答案：##0.3
解析：∵在1-10中，3的倍数的数有3，6，9，
∴所得编号是3倍数的概率为，
故答案为：．
13. 已知扇形的弧长是，圆心角为，则扇形所在圆的半径为________．
答案：
解析：解：设扇形所在圆的半径为r，
则，
解得，
故答案为：．
14. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为____．
答案：0或
解析：解：中，
，
方程有两个实数根，
设是“邻根方程”的两个根，，
则，，，
，
，
，
解得或，
m的值为0或．
故答案为：0或．
15. 如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有________．
答案：①②③
解析：解：观察图象可知，
∴，故④错误；
令，得，
∵，则点B坐标为，
故和为一元二次方程的两根，
由根与系数的关系可得，
解第二个等式可得：，故②正确；
把代入第一个等式得：,
移项得：，故①正确；
把B坐标代入函数中得：，
∴，即，
故③正确；
正确的有①②③．
故答案为：①②③．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点为线段中点，点为线段上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则面积的最大值为____．
答案：
解析：解：如图，过点作轴于点，过点作的垂线，交延长线于点，
点为线段中点，点，点，
，
，
设点的坐标为，则，
，
由旋转的性质可知，，
，
∵轴，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
的面积为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值，最大值为，
故答案为：．
三、解答题：
17. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0一个根为4，求方程另一个根和k的值．
答案：方程另一个根为，的值为．
解析：解：设方程的另一个根为，
则，
解得，
故方程另一个根为，的值为．
18. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．

答案：见解析
解析：证明：是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，
，
，即，
在和中,
,
∴，
．

19. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．
（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
答案：（1）
（2）这个游戏公平．见解析
【小问1详解】
解：由题意可得，
小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：这个游戏公平，
理由：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中两张卡片上对应的人物为师徒关系有6种可能性，
∴两张卡片上对应的人物为师徒关系的概率为，
∴这个游戏公平．
20. 如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ，求的长．
答案：（1）见解析；
（2）．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
为的切线，
．
平分，
．
，
，
，
在和中，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
为的直径．
，
，
．
在中，，，
，
．
21. 如图，的圆心在格点上，点 均在圆上，是 和网格线的交点．
（1）在图1中，在格点上找一点，使得为的切线（画出一个点即可）；
（2）在图2中，在优弧上画点，使得；
（3）在图3中，在优弧上画点，使得．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求，
∵，，，
∴，
∴，
则为的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，点E即为所求，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，点F即为所求，
∵四边形为正方形，
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22. 重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：
（1）试估计并验证与之间的函数类型并求该函数的表达式；
（2）若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润万元与绿色开发投入的资金万元的函数关系式；并求投入的资金不低于万元，又不超过万元时，取多少时，年利润最大，求出最大利润．
（3）基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加的销量万千克与增加种植人员的奖金万元之间满足，若基地将投入万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到万元且绿色开发投入大于奖金？
答案：（1）
（2）时，最大为万元
（3）用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元
【小问1详解】
根据不是一次函数(不是线性的)，也不是反比例函数的值不是常数)，所以选择二次函数，
设与的函数关系式为，
由题意得：
，
解得：，
与的函数关系式为：；
【小问2详解】
利润销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，
；
当时，最大，
由于投入的资金不低于万元，又不超过万元，所以，
而，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，随的增大而减小，故最大值在处，
当时，最大为：万元；
【小问3详解】
设用于绿色开发的资金为万元，则用于提高奖金的资金为万元，
将代入中的，故；
将代入，故，
由于单位利润为，所以由增加奖金而增加的利润就是；
所以总利润，
因为要使年利润达到万，所以，
整理得，
解得：或，而绿色开发投入要大于奖金，
所以
所以用于绿色开发的资金为万元，奖金为万元．
23. 【问题背景】：如图1，点 是等边内一点，连接，将绕点逆时针旋转 得到，连接，观察发现：与的数量关系为________，直线与所夹的锐角为________度；
【尝试应用】：如图2，在等腰直角中，，点是等腰直角 内一点，连接，，，若，求面积；

【拓展创新】：如图3，在等腰中，，点为平面内一点，且，直接写的值为________．

答案：问题背景：，；；【尝试应用】：；【拓展创新】：或．
解析：解：问题背景：如图所示，延长交
由旋转的性质可得，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，直线与所夹的锐角为，
故答案为：，；
尝试应用：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接．

∴，
，
共线，
．
拓展创新：①当点D在的上方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，，设，则．

，，
，
，
过点B作于点H ，
则
，
，
，
，
，
．
②当点D在的下方时，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，设则过点D作交的延长线于点H．

同法可证，
，
，
综上所述，的值为或
故答案为：或
24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是上方抛物线上一点，若，求点的坐标；
（3）如图2，过点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与过点的直线交于点，若直线和与抛物线均只有一个公共点，求的最小值．
答案：（1）
（2）或
（3）
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，与轴交于点，
，解得，
则物线的解析式为：．
【小问2详解】
令中，得，
或，
，
∴，
，
，，
点是上方抛物线上一点，若，
，
过点作轴于点，由点是上方抛物线上一点，如图，
设，
，
整理得，
解得或，
当时，，
当时，，
点为或；
【小问3详解】
设，其中，直线的解析式为，直线的解析式为．
过点的直线交抛物线于两点，
设直线的解析式为．
联立直线解析式和抛物线解析式得，
整理得方程．
，，
∵点E为方程的一个解，
∴，
，
联立直线和抛物线解析式得，整理得．
直线与抛物线只有唯一公共点，
有两个相等的实数根都为．
，
．
的解析式为．
同理的解析式为．
直线与相交于点，
联立直线和直线解析式得
整理得，
，
的纵坐标为，
点，
，
的最小值为．万元