江苏省连云港市东海县四校2024届九年级上学期12月第二次联考数学试卷(含解析)

这是一份江苏省连云港市东海县四校2024届九年级上学期12月第二次联考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分 时间：100分钟）
一、选择题：（每题3分，共24分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填涂到答题卡上）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：A.是一次函数，故本题选项错误；
B.，是一次函数，故本题选项错误；
C. ，是二次函数，故本题选项正确；
D.是反比例函数，故本题选项错误．
故选C．
2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选：A．
3. 下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
A. 1与2之间B. -2与-1之间C. -1与0之间D. 0与1之间
答案：D
解析：解：∵当x=0时，y=1，x=1时，y=-2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
4. 对于函数的图像，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线C. 最大值为0D. 与y轴不相交
答案：D
解析：解：，开口向下；故A正确；
对称轴为，故B正确；
开口向下，函数有最大值，时，最大值为0，故C正确；
时，，与y轴交于点；故D错误；
故选：D
5. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限
上述结论中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③
答案：C
解析：由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1，
①抛物线的开口向上，故错误；
②抛物线的对称轴是x=1，故错误；
③根据对称性可知，抛物线对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确；
④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，
正确的有③④ ，
故选C．
6. 小红连续5天的体温数据如下（单位：）：、、、、，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是B. 众数是
C. 平均数是D. 极差是
答案：B
解析：解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，、、、、，
A、中间位置的一个数是，因此中位数是，原说法错误，不符合题意；
B、出现次数最多的是，因此众数是，原说法正确，符合题意；；
C、平均数为：，原说法错误，不符合题意；
D、极差为：，原说法错误，不符合题意；
∴说法正确的是B．
故选：B．
7. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：如图可知，，为入口；，，为出口，
∴
∴小颖入口进出口的概率为：．
故选：B．
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共24分，请直接将结果填写在答题卡上）
9. 有一组数据：1，1，1，1，．若这组数据的方差是0，则为________．
答案：1
解析：解：依题意可得，这组数据的平均数为，
∴0，
解得，
故答案为：1．
10. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分．
答案：72
解析：解：根据题意知，该名老师的综合成绩为（分）
故答案为：72．
11. 已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是_____．
答案：
解析：解：∵，是二次函数的图象上两点，
∴ 关于对称轴对称，
∵，
∴，
∴，
将代入得，
，
故答案为：．
12. 小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上找到三点（－1，y1），（，y2），（－3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 ．
答案：
解析：解：抛物线的对称轴为直线x=
因为抛物线开口向上，点（-1，y1）在对称轴上，点（，y2）比点（-3，y3）离对称轴要近，则有
所以
故答案为
13. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______．
答案：10m
解析：解：根据题意，以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（12，﹣8），
设该抛物线的表达式为y=ax2，
将B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122，
解得：a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2，
当x=18时，y=×182=﹣18，∴E（18，﹣18），
∴点到直线的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m，
故答案为：10m．
14. 已知点在二次函数的图像上，则的最大值______．
答案：3
解析：∵点在二次函数的图像上，
∴，得到
∴，
∴最大值为3，
故答案为：3．
15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________．
答案：，
解析：观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为，
则另一个交点坐标为
∴一元二次方程的解是，
故答案为：，．
16. 如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为_____．
答案：
解析：解：∵，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的，连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：
或
，
小问2解析：
解：
或
，
18. 如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
小问2解析：
，，
，
，
，
贴纸部分的面积．
19. 已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
答案：（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
解析：（1）交y轴于点B，
将代入，解得，
，
过，
，
即，
；
（2）对称轴为，
若抛物线最高点的纵坐标为4，
则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，
将代入，
解得，
，
即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
综上所述，当时，，当时，．
20. 设二次函数y=ax2+bx-b-a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象的对称轴是直线x=-1，求这个函数图象与x轴交点的坐标．
答案：（1）有两个或一个，见解析；（2）(-3，0)，(1，0)
解析：解：（1）令y＝0，则0＝ax2+bx﹣b﹣a，
∴△＝b2﹣4•a•（﹣b﹣a）
＝b2+4ab+4a2
＝（2a+b）2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
（2）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴二次函数为y＝ax2+2ax﹣3a，
令y＝0，则ax2+2ax﹣3a＝0（a≠0），
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴这个函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．
答案：（1）见解析；
（2）
小问1解析：
证明：如图：连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB=∠ACB．
∴，
∵DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∵OD是圆的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
小问2解析：
解：如图：连接AD，
∵AB 为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，BC=16，
∴BD=CD=8，
∵⊙O 的半径为5，
∴AC=AB=10，
∴，
∵S△ADC，
∴10DE=8×6，
∴DE=4.8．
22. 今年是建党100周年，为了响应习总书记提出的“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”号召，某校团支部举行了党史知识测试活动，现从该校八、九年级各随机抽取20名团员的测试成绩（满分10分）进行整理、描述和分析，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
3，7，6，9，7，6，8，6，7，8，10，7，6，9，7，10，7，8，9，10．
九年级抽取的20名团员测试成绩的条形统计图如下：
八、九年级抽取的团员的测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级的团员掌握党史知识更好？请说明理由；
（3）该校八、九年级共有200名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩为满分的团员有多少人？
答案：（1）7，7.5，2.35；（2）九年级的团员掌握党史知识更好，理由见解析；（3）30人
解析：解：（1）八年级20名团员的测试成绩中7出现次数最多，则a=7，
九年级20名团员的测试成绩的中位数，
（2）九年级的团员掌握党史知识更好．
理由如下：九年级成绩的众数比八年级成绩的众数大，九年级成绩的中位数比八年级成绩的中位大，九年级成绩的方差小，成绩比较稳定；
（3）（人），
所以估计参加此次测试活动成绩为满分的团员有30人．
23. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3张卡片分别标有数字4、5、6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ；
（2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和为偶数的概率．
答案：（1）
（2）见解析，
小问1解析：
解：甲盒里随机抽取一张卡，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是，
故答案为：；
小问2解析：
画出树状图的：
共有9种等可能性结果，抽到两张卡片上标有数字之和为偶数的有4种情况；
∴两次抽取卡片上数字之和为偶数的概率为．
24. 如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数关系式；
（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
答案：（1）S=-2x2+12x；（2）当x=3时，面积S最大，最大值是18m2．
解析：解：（1）由题意可得，
S=x（12-2x）=-2x2+12x，
即S与x之间的函数关系式S=-2x2+12x；
（2）∵S=-2x2+12x=-2（x-3）2+18，
∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，
即当x=3时，面积S最大，最大值是18m2．
25. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
答案：（1）y＝－2x＋200 （2）W＝－2x2＋280x－8 000；（3）当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．
解析：解：（1）设，由题意，得
，解得，
∴所求函数表达式为．
（2）．
（3），其中，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
当时，W随x的增大而减小，
当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．
26. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）该抛物线的解析式为．
（2）为直角三角形．理由详见解析．
（3）存在，，，均可满足条件．
小问1解析：
解：将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
小问2解析：
证：应为直角三角形．证明如下：
由得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
小问3解析：
解：存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的Ｐ点有３个，分别为，，．x
-2
-1
0
1
2
y
1
2
1
-2
-7
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
7.5
7
2.85
九年级
7.5
8
售价x/(元/千克)
50
60
70
销售量y/千克
100
80
60