2023-2024学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试数学试卷含详解

这是一份2023-2024学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试数学试卷含详解，共18页。
1. 直线与平行，则实数__________.
2. 已知圆，直线被圆C截得弦长为______.
3. 设函数在处存在导数为2,则=_______________．
4. 若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______.
5. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于________．
6. 已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______．
7. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

8. 已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________.
9. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________.
10. 已知曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．
11. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.
12. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知直线，直线，则关于对称直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A 5B. C. D.
15. 已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
16. 已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为
A. B. C. D. 2
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
（1）求直线的方程；
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.
18. 直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根．
（1）求弦的长；
（2）若圆的圆心为，求圆的一般方程．
19 已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
20. 设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．
（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；
（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；
（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知椭圆：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点.
（1）若直线垂直于轴，求线段的长度；
（2）若，且点在轴上方，求、两点坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期
期中数学试卷
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 直线与平行，则实数__________.
【答案】
【分析】由两直线平行，可得，从而可求出的值
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
故答案为：
【点睛】此题考查由两直线平行求参数，属于基础题
2. 已知圆，直线被圆C截得的弦长为______.
【答案】
【分析】根据直线和圆位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.
【详解】解：由题意可得，圆心为，半径，
弦心距，
故直线被C截得的弦长为，
故答案为：
3. 设函数在处存在导数为2,则=_______________．
【答案】
【分析】利用导数的定义直接求得.
【详解】由极限的运算法则结合导函数的定义可得：
==.
故答案为：
4. 若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】首先求出直线过定点及方程表示椭圆时参数的取值范围，依题意定点在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：因为表示椭圆，且，
对于直线，令，解得，即直线恒过定点，
因为直线与椭圆恒有两个不同的公共点，
所以点在椭圆内部，所以，解得或，
综上可得.
故答案为：
5. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于________．
【答案】
【分析】首先将抛物线方程化为标准式，即可得到准线方程，再根据抛物线的定义得到，即可得解.
【详解】抛物线，即，
所以准线方程为，
因为抛物线上点到该抛物线焦点的距离为，
所以，解得.
故答案为：
6. 已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案.
【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值，
其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
7. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

【答案】
【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，
又由，可得，
根据双曲线开口越大离心率越大，根据图象，可得，
所以.
故答案为：.
8. 已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________.
【答案】##
【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解.
【详解】因为椭圆，则，
所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则，
由椭圆的定义得，，

所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值，
此时．
故答案为：
9. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.
【详解】解：如图，，
要使最小，则最大，即需最小.
设，则，
∴当，即时，，，
此时或，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.
10. 已知曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意知曲线为当时；当；由此即可画出曲线的图像，借助图像由直线与曲线有四个不同的交点即可求出实数的取值范围.
【详解】由曲线：及题意，知．
如图所示，曲线表示的是一个圆与双曲线的一部分，
由，解得，
要使直线与曲线有四个不同的交点，结合图象，可得．
故答案为：.
11. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.
【答案】
【详解】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，
则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．
∴阴影部分的面积为，故答案为.
12. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【详解】连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形．因是等腰三角形，，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以，．

点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于的关系式．如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建的关系式．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【分析】先求两直线交点，再在上找一点（不同于交点）做关于的对称点，然后利用对称点与交点求出直线方程即为答案.
【详解】由题知直线与直线交于点，且点在上，
设点关于对称的点的坐标为，则解得
则直线的方程为，即关于对称的直线方程为．
故选：
【点睛】考查对称知识，求直线关于直线对称，转化成点与点关于直线对称，也可以利用求轨迹方程的方法，到角公式等.
14. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意求出，再根据离心率公式即可得解.
【详解】由双曲线可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：D．
15. 已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，
此时圆心到对称轴的距离为4，
所以，解得或.
故选：D
16. 已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为
A. B. C. D. 2
【答案】D
【分析】根据三角形的内心到三边的距离相等，利用三角形的面积公式，将条件化简，结合椭圆的定义，即可求得λ的值．
【详解】设△PF1F2的内切圆的半径为r，
因为M为△PF1F2的内心，S△MPF1=λS△MF1F2-S△MPF2，
所以
所以，即
因为P为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点
所以
所以
所以选D
【点睛】本题考查了椭圆的定义及焦点三角形面积问题，内心的定义和应用，属于中档题．
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
（1）求直线的方程；
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
由，，则，，
∴直线的斜率，且直线过点，
∴由直线的点斜式方程得，
即，
∴所求直线的方程为；
【小问2详解】
∵直线化简得：，
∴定点，
则点到直线的距离为：
，
故到直线的距离为.
18. 直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且是方程的两根．
（1）求弦的长；
（2）若圆的圆心为，求圆的一般方程．
【答案】（1）；
（2）.
分析】（1）利用两点间距离公式计算即得.
（2）利用点到直线的距离公式求出圆的半径，再确定圆的方程．
【小问1详解】
依题意，，，，
则，
所以弦的长为.
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
设圆的半径为，则，因此圆的半径长为，
所以圆的方程是，即．
19. 已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
【答案】（1）或；
（2）或.
【分析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解.
（2）根据给定条件，利用导数的几何意义求出点的横坐标即可.
【小问1详解】
设过点A的直线与函数的图象相切的切点为，
函数，求导得，则切线斜率，
因此切线方程为，直线与x轴交于点，
依题意，，整理得，解得或，
当时切线方程为；当时切线方程为，
所以所求切线方程为或.
【小问2详解】
设点，由（1）知，，即，解得，显然，
而点或都不在直线上，
所以B点坐标为或.
20. 设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．
（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；
（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；
（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4 （2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1） （3）存在，T（3，0）
【分析】（1）根据条件可知直线l方程为x+y﹣2＝0，联立直线与抛物线，根据弦长公式可得结果；
（2）设R（x0，y0），Q（x，y），根据2可得x，y，将其代入抛物线方程即可得到结果；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，根据韦达定理和中点公式可得点的坐标，同理可得的坐标，由斜率公式得的斜率，由点斜式可得的方程，根据方程可得结果.
【详解】（1）根据条件可知直线l方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，
联立，整理得x2﹣8x+4＝0，
则xU+xV＝8，xUxV＝4，
所以线段UV•|xU﹣xV|•4；
（2）设R（x0，y0），Q（x，y），则（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），
根据2，则有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，
因为点Q在抛物线Γ上，所以（）2＝4•，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），
即点R的运动轨迹方程为（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
根据题意直线AB，CD的斜率存在且不为0，不妨设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，
联立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，
则x1+x2，所以可得M（，），
同理可得N（1+k+2k2，﹣k），
则kMN
所以直线MN的方程为y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直线MN过点（3，0），故存在一个定点T（3，0），使得M，N，T三点总是共线．
【点睛】本题考查了直线与抛物线的交点问题，考查了弦长公式，考查了字母运算能力，考查了代入法求动点的轨迹方程，考查了斜率公式，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，属于较难题.
21. 已知椭圆：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点.
（1）若直线垂直于轴，求线段的长度；
（2）若，且点在轴上方，求、两点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2），
（3）存在直线，使得的面积是的两倍，理由见详解.
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，求出方程组的解即可求距离；
（2）由得到，与椭圆方程联立可求出点的坐标，由此得到直线的方程，与椭圆联立得到点的坐标；
（3）设直线的方程为：，与椭圆联立，结合韦达定理和面积公式，分别求出的面积是的面积，根据题中给定关系，列方程即可求出直线的方程.
【小问1详解】
当直线垂直于轴，直线的方程为，
由得或，
所以线段的长度为.
【小问2详解】
由题意，，设，，
因为，所以，

因为，，
所以，整理得，①
又因为，②
由①②且点在轴上方， 可得，
所以直线的方程为：，
由解得或，故.
【小问3详解】
存在直线，使得的面积是的两倍，理由如下：

由题意可设直线的方程为：，，，
由得，
，
，，
所以
，
因为，所以直线方程为：，
令，则，
因为，所以直线方程为：，
令，则，
所以
，
因为的面积是的两倍，
所以，解得，
所以直线的方程为：或.
【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是直曲联立，化成关于横坐标或纵坐标的一元二次方程，结合韦达定理进行解答.