专题04 五大类概率与统计-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生及教师版）

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【题型1 独立性检验问题】
【题型2 线性回归及非线性回归问题】
【题型3 超几何分布问题】
【题型4 二项分布问题】
【题型5 正态分布问题】
独立性检验问题
分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。
注：①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本数量,各层个体数量)”
频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
独立性检验
（1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
（2）公式：，其中为样本容量．
（3）独立性检验的具体步骤如下：
①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值：
②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”．
注意：算出的k2在那个区间内，从而求出k0在那个区间
4月15日是全民国家安全教育日．以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间．同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数n（同一组数据用该组中点值代替）.
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
附：独立性检验临界值表
公式：，其中．
破解：（1）第一步：因为，
所以．又，
第二步：从频率分布直方图求算中位数及平均数
故设中位数为x，则，所以．
平均数.
（2）由题意可得列联表如下：
代入公式即可：,
故有的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生成绩是否高于75分（满分100分）及周平均阅读时间是否少于10小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于75分的样本占样本总数的，周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的样本有100人.
(1)根据所给数据，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握认为语文成绩与阅读时间是否有关；
(2)先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记抽取3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为，求的分布列与均值.
参考公式及数据：.
破解：（1）第一步：根据已知条件，列联表如下：
所以，
第二步：由表知，
所以有的把握认为语文成绩与阅读时间有关.
（2）第一步：由题意得：成绩不低于75分的学生中周平均阅读时间少于10小时和不少于10小时的人数比是1:2，
第二步：分层抽样按比例抽取：按分层抽样抽取9人，则周平均阅读时间少于10小时有3人，不少于10小时的有6人，
第三步：列出分布列从这9人中再随机抽取3人进行访谈，则可能的取值为，
，.
分布列如下：
第四步：利用公式求算期望.
1．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
(1)通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
(2)为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取名，求所抽取的名同学中至少有名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
【答案】(1)有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
(2)
【详解】（1）由表格数据可得：，
有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
（2）抽取的名同学中，男生有人，女生有人，
记事件为“抽取的名同学中至少有名女生”，
则，，
即抽取的名同学中至少有名女生的概率为.
2．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中.
若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：.
【答案】(1)20(2)分布列见解析，
【详解】（1）根据题意，完成列联表如下：
由题意可得，
得.
易知为5的倍数，且，所以，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人），
所以的所有可能取值为，
，，，
，.
的分布列为：
所以.
3．甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生，已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．
(1)判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；
(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5名的毕业生中随机挑选2人去参加乙医院的考核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率．
参考公式与临界值表：，．
【答案】(1)有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关.(2)
【详解】（1）因为，
所以有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关.
（2）分别记专业成绩排名前5名的毕业生依次为,则从这5人中随机选取2人的基本事件有：
共10个，
其中选出的这2人中包含专业成绩排名第一的基本事件有共4个，
故所求概率为
4．某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问卷调查，结果见下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有关；
(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为（单位：元），求的数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)有关(2)16.
【详解】（1）零假设为：该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别无关联.由已知得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题意可知的取值为.
记事件表示甲同学中奖的金额为元，；
事件表示乙同学中奖的金额为元，，且事件与事件相互独立.
则，
故的数学期望
5．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向．
(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；
(2)判断是否有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：，其中：，
【答案】(1)列联表见解析，男学生有报名意向的概率为，女学生有报名意向的概率为(2)有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关
【详解】（1）列联表如下：
男学生有报名意向的概率为，
女学生有报名意向的概率为；
（2）因为，
所以有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.
6．“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，.
(1)根据已知条件，填写下列列联表并说明理由；
(2)由（1）中列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？
附：.
【答案】(1)列联表见详解(2)没有关联
【详解】（1）根据题意，由，可得不超过35岁的人中，对“村超”满意且有160人，
又由，可得对“村超”满意的人中超过35岁的有140人，
由此列联表如下.
（2）由.
依据小概率值的独立性检验，，即认为性别与满意度没有关联.
7．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动．已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为，乙每只投中的概率为，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为，求的分布列和数学期望．

附表及公式：
其中，．
【答案】(1)有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
(2)分布列见解析，期望为
【详解】（1）零假设没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
，
故有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
（2）的可能取值为，
,
，
，
，
，
故的分布列为：
数学期望
8．随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了两个参加国内学科竞赛的中学，从两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
(1)试判断是否有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自中学的概率.
附：，其中.
【答案】(1)没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关(2)
【详解】（1）补全列联表如下：
所以，
故没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.
（2）由题知，用分层抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，记为，
来自中学的有3人，记为，
从这5人中任选3人进行深度调研，所有的结果有
，共10种，
其中恰有2人来自中学的结果有，共6种，
故所求概率.
线性回归及非线性回归问题
线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为
其中，，，（，）称为样本点的中心．
非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，，.
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
破解：（1）第一步：，，
第二步：，
，
，
第三步：，
订单数量y与月份t的线性相关性较强；
（2）第一步：，
第二步：，
线性回归方程为，
令，（万件），
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．
(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
其中，．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
破解：（1）解：第一步：因为，
所以两边同时取常用对数，得，
第二步：设，
所以，设，
因为，
第三步：所以
，
第四步：所以
所以
所以
（2）由（1）知2023年与2024年这两年的年平均增长率，
2022年中国车载音乐市场规模为17，
故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.
某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
(1)通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：
结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.
参考公式及参考数据：，，.
破解：（1）第一步：因为，令，所以.
由题可得，，
第二步：则，，
所以，所以回归方程为.
（2）第一步：当时，.
第二步：因为且，所以，
所以,
所以公司的决策合理.
1．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）
【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.(2)198.6
【详解】（1）由表格中的数据，，
所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.
（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：
（万元）
2．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到0.01）
附：相关系数
回归直线中：，．
【答案】(1)模型拟合度更好(2)
【详解】（1）设模型的相关系数为，模型的相关系数为，
对于模型，令，即，
所以，
对于模型，有，令，即，
所以，
因为，所以模型拟合度更好.
（2）因为，，
所以关于的回归方程为.
3．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：
其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【答案】(1)(2)分布列见解析，2
【详解】（1）将的等号两边同时取对数得，
所以．，
．
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，．
所以X的分布列为
．
4．当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
(1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
【答案】(1)，(2)②的拟合效果好，预测销售量是千件
【详解】（1），
所以，
所以.
由，两边取以为底的对数得，即，
，
所以，所以.
（2），
对于，；对于，，
所以②的拟合效果好，当时，预测值千件.
5．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量．
表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）
(1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？
(2)根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程．
①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；
②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？
参考数据：．
参考公式：．
【答案】(1)3.3（亿吨），0.21（亿吨）
(2)①；②大约在2026年实现碳达峰
【详解】（1）2017年的估计值：（亿吨），
从而估计减少碳排放量为（亿吨）．
（2）①设，则，
，
∴
∴
∴，
②∵y的对称轴为，
∴大约在2026年实现碳达峰，
6．近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x与购买人数y的数据如下表．
经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式，即，对上述数据进行初步处理，其中，，，2，…，6．
附：①可能用到的数据：，，，．
②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
(1)根据所给数据，求关于x的回归方程．
(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【详解】（1）散点集中在一条直线附近，
设回归直线方程为，，，
则，，
所以回归直线方程为．
因为，，所以，则，，所以．
综上，y关于x的回归方程为．
（2）由题意知B，C，D，E为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，
X的可能取值为1，2，3，且，，．
X的分布列如下．
．
7．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
【答案】(1).(2)分布列见解析，均值
【详解】（1）解:因为，所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以所求回归方程为.
（2）
解：随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
，
，
.
所以随机变量X的分布列为
.
8．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析
(2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大
【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.
超几何分布问题
超几何分布
（1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
超几何分布和二项分布的区别
区别1：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
区别2：超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣､亲近自然､寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望.
破解：（1）由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.
第一步：记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件，
第二步：则，所以.
（2）这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，
第一步：故的所有可能取值为.
第二步：，
，
所以的分布列如下表：
第三步：所以.
已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人．
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．
破解：（1）设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有
（2）第一步：设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Y，则有；
第二步：设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z，则有；
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率
，
乙同学在一轮测试结果为优秀的概率
．
第三步：由题意，得X可取0，1，2；
则有；；
．
所以X的分布列为：
第四步：因此X的数学期望．
2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：
(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为，求的分布列与期望.
附注：参考数据，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
破解：（1）第一步：由数据可得；
，
第二步：又，
,
第三步：.
.
（2）第一步：由题知，7家超市中有3家超市的广告是“好广告”，X的可能取值是0，1，2，3
第二步：.
.
所以的分布列为
第三步：所以.
1．当AIGC（生成式人工智能）领域的一系列创新性技术有了革命性突破，全球各大科技企业积极拥抱AIGC，我国有包括A在内的5家企业加码布局AIGC生成算法赛道，有包括B、C在内的5家企业加码布局AIGC的自然语言处理赛道，某传媒公司准备发布（2023年中国AIGC发展研究报告），先期准备从上面的10家企业中随机选取4家进行采访.
(1)若在布局不同的赛道中各选取2家企业，求选取的4家企业中，企业A，B，C至少有2家的概率.
(2)记选取的4家科技企业中布局AIGC的是生成算法赛道的企业个数为X，求X的分布列与期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，2.
【详解】（1）因为从上面的10家科技企业布局的两条赛道中各随机选取2家共有种不同的选法，
选取的4家科技企业中，企业至少有2家共有种不同的选法，
所以选取的4家科技企业中，企业至少有2家的概率为．
（2）可以取，
，
，
所以的分布列为
所以.
2．某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、、．
(1)求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数；
(2)从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)，第分位数为(2)分布列答案见解析，
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得，解得.
前四个矩形的面积之和为，
前五个矩形的面积之和为，
设这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数为，
则，解得，
因此，这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数为.
（2）解：数学成绩位于、的学生人数之比为，
所以，所抽取的人中，数学成绩位于的学生人数为，
数学成绩位于的学生人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
3．水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)(2)分布列见解析，0.8
【详解】（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
故恰好抽到2个礼品果的概率为；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，
现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，
则，
所以的分布列为：
故的数学期望.
4．某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.

(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，）
【答案】(1)6人，6人(2)分布列见解析，.
【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布，
其中，
设对产品功能满意程度的评分为，
所以，
所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）.
根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为，
则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）.
（2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，
只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为
，，，
则的分布列为
数学期望.
5．吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
【答案】(1)(2)小李能进入决赛
【详解】（1）设“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：
①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为
②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为
③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为
所以；
（2）由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为，每道中式热菜被评委认可的概率为，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则 ，
∴，
∴小李能进入决赛.
6．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】(1)(2)应该选择学生，理由见解析
【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为.
（2）由（1）知，，；
而，.
因为，