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鲁教版 (五四制)3 二元一次方程组的应用同步达标检测题
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这是一份鲁教版 (五四制)3 二元一次方程组的应用同步达标检测题，共43页。
A．6种B．7种C．8种D．9种
2．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
3．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
5．把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．9种
6．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
7．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
8．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
9．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
12．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
13．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
14．为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（ ）
A．11B．12C．14D．16
15．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
16．把一根17米的钢管截成3m长和2m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？共有（ ）种不同的截法．
A．1B．2C．3D．无数
17．新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
18．把一根长为7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管（损耗忽略不计），不造成浪费的截法共有（ ）
A．0种B．1种C．2种D．3种
二．填空题（共18小题）
19．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ．
20．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
21．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
22．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 种购买方案．
23．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案．
24．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：
注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；
注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；
注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．
某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有 人．
25．把一根长20m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，不同的截法有 种．
26．甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 元．
27．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 种购买方案．
28．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元（两种物品都买），小明的购买方案共有 种．
29．为迎接北京冬奥会，在A、B两个社区共设置六个摊点售卖冬奥纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，则A、B两社区售出纪念品的总数量之比为 ．
30．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚 人，小和尚 人．
31．把一根长15m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有 种．
32．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 ．
33．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时，第一天，该企业将8吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ；第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后，又给A产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
34．今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 ．
35．为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小组进行小组互助，若七年级某班级共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有 种．
36．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是 ．
三．解答题（共10小题）
37．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
（3）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
38．抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
39．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．
（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．
40．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
41．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．（假设每辆车均满载）
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
42．为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍．
（1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？
（2）销售商家推出两种购买方案，如下表：
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由．
43．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
44．某出租车公司有A、B两种不同型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
45．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程3x+4y＝24有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由3x+4y＝24，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程3x+4y＝24的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出满足方程x+2y＝6的正整数解 ．
（2）若为非负整数，则满足条件的正整数x的值有 个．
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的签字笔与单价为7元的笔记本两种奖品，共花费63元，问有哪几种购买方案？
46．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
（1）购买冰墩墩钥匙扣 个（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
二元一次方程的应用精选题46道
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【分析】设兑换成10元x张，20元的零钱y张，根据题意可得等量关系：10x张+20y张＝100元，根据等量关系列出方程求整数解即可．
【解答】解：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：
10x+20y＝100，
整理得：x+2y＝10，
方程的整数解为：，，，，，，
因此兑换方案有6种，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
2．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】先设原来的两位数为10a+b，根据交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数比原两位数大9，列出方程，得出b＝a+1，因此a可取1到8个数，并且这8个数的特点都是个位数字比十位数字大1的两位数．
【解答】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：
10a+b+9＝10b+a，
解得：b＝a+1，
因为a可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数，注意不要漏数．
3．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【解答】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，
化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，
∵x，y为正整数，
∴，，
∴有2种购买方案：
方案1：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；
方案2：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
4．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】根据题意得出方程，进而得出方程的整数解解答即可．
【解答】解：设A型x个，B型口罩y个，
可得：6x+4y＝40，
因为x，y取正整数，
解得：，，，
所以小明的购买方案有三种，
故选：B．
【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是根据二元一次方程的解解答．
5．把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．9种
【分析】可列二元一次方程解决这个问题．
【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴，，，．
故选：B．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
6．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有5种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y＝180，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴共有5种购买方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【分析】根据题意列出二元一次方程求得正整数解即可．
【解答】解：设买了x支钢笔，y支圆珠笔，
根据题意得：5x+2y＝30，
∵x、y是正整数，
∴或，
∴小明共有2种购买方法，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，难度不大．
9．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数），则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a，根据题意得出10b+a﹣（10a+b）＝45，整理得b﹣a＝5，再进一步求解即可．
【解答】解：设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数），
则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a，
根据题意，得：10b+a﹣（10a+b）＝45，
整理，得：b﹣a＝5，
当b＝9时，a＝4，此时两位数为49，
当b＝8时，a＝3，此时两位数为38，
当b＝7时，a＝2，此时两位数为27，
当b＝6时，a＝1，此时两位数为16，
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据新两位数比原两位数大45列出相应的二元一次方程．
10．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据“购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元”列二元一次方程，再由x和y分别取正整数，即可确定购买方案．
【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，
根据题意，得15x+20y＝360，
∴y＝18﹣x，
∵两种都买，
∴18﹣x＞0，x、y都是正整数，
解得x＜24，
故x是4的倍数且x＜24，
∴x＝4，y＝15或x＝8，y＝12或x＝12，y＝9或x＝16，y＝6或x＝20，y＝3；
∴共有5种购买方案，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立二元一次方程是解题的关键．
11．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设租用A型车x辆，B型车y辆，由题意：A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，
由题意得：3x+4y＝31，
则x＝，
∵x、y为正整数，
∴或或，
∴租车方案共有3种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
【分析】设购买了A笔记本x本，B笔记本y本，根据共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本，进而结合x，y为正整数，求出答案．
【解答】解：设购买了A笔记本x本，B笔记本y本，
根据题意可得：6x+12y＝42，
化简得：x＝7﹣2y，
∵x，y为正整数，
∴符合题意的方案有：，，，
即：有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．
13．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以买x个A型口罩，y个B型口罩，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设可以买x个A型口罩，y个B型口罩，
依题意得：6x+4y＝40，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（ ）
A．11B．12C．14D．16
【分析】设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，根据总长度为18米长列出方程，然后求a的取值．
【解答】解：设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，
根据题意，得5+7+（a﹣1）x＝18．
整理，得x＝．
因为6≥x＞0且x为整数，a﹣1≥2，
所以a的值可以为：3或4或7．
所以3+4+7＝14．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题时，需要注意，剪刀剪了a次时，彩带被剪成了（a+1）段．
15．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【分析】设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，
依题意，得：5m+2n＝50，
∴m＝10﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝5时，m＝8；当n＝10时，m＝6；当n＝15时，m＝4；当n＝20时，m＝2．
∴共有4种兑换方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16．把一根17米的钢管截成3m长和2m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？共有（ ）种不同的截法．
A．1B．2C．3D．无数
【分析】设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，根据截成钢管的总长度为17m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，
依题意得：3x+2y＝17，
∴y＝．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种不同的截法．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
17．新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以购买x包A型口罩，y包B型口罩，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设可以购买x包A型口罩，y包B型口罩，
依题意得：6x+4y＝40，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．把一根长为7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管（损耗忽略不计），不造成浪费的截法共有（ ）
A．0种B．1种C．2种D．3种
【分析】截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
【解答】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，
设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y＝7，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：，，，
则有3种不同的截法．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．
二．填空题（共18小题）
19．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 9：10 ．
【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为3a、2a、4a；b、2b、b．可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到A的五月销售数量，因此可以设六月份A的销售量为x，再根据A六月份的单价求出六月份A的销售额，和B的销售额．可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
【解答】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、2a、4a，单价为b、2b、b；六月份A的销售量为x．
∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.2bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷2×3＝1.8bx．
∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣3ab，1.8bx﹣4ab．
又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1，
∴C饮料增加的销售额为（1.8bx﹣4ab）÷2＝0.9bx﹣2ab，
∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣2ab+4ab＝0.9bx+2ab．
∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
∴（1.2bx﹣3ab）÷＝1.2bx+1.8bx+0.9bx+2ab，
∴18bx﹣45ab＝3.9bx+2ab，
∵b≠0，
∴18x﹣45a＝3.9x+2a，
∴14.1x＝47a，
∴3a＝，
∴＝．
即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10．
故答案为9：10．
【点评】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
20．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
【分析】先求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27元，得出乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），求出＝．
【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
21．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 x+2y＝32 ．
【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【点评】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
22．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 3 种购买方案．
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：4x+3y＝48，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
23．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 2 种购买方案．
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．
【解答】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，
20x+35y＝365，
得x＝，
∵x，y必须为正整数，
∴＞0，即0＜y＜，
∴当y＝3时，x＝13
当y＝7时，x＝6．
所以有两种方案．
故答案为：2．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程然后根据解为正整数确定值从而得出结果．
24．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：
注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；
注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；
注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．
某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有 3 人．
【分析】设该家庭中可以购买优惠票的有x人，购买普通票的有y人，由题意得二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设该家庭中可以购买优惠票的有x人，购买普通票的有y人，由题意得：
②﹣①得：12y＝84
∴y＝7 ③
将③代入②得：80x+120×7＝1080
解得：x＝3
故答案为：3．
【点评】此题考查了二元一次方程组在生活实际中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键．
25．把一根长20m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，不同的截法有 3 种．
【分析】设可以截成x根2m长，y根3m长的短钢管，根据短钢管的总长度为20m，可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种不同的截法．
【解答】解：设可以截成x根2m长，y根3m长的短钢管，
根据题意得：2x+3y＝20，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种不同的截法．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
26．甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 2400 元．
【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案．
【解答】解：设租用大货车x辆，小货车y辆，由题意得：
8x+5y＝42，
整数解为：，此时运费为：4×450+2×300＝2400（元），
当x＝6时，y＝0，此时运费为：6×450＝2700（元），
当x＝5时，y＝1（此车没装满），此时运费为：5×450+1×300＝2550（元），
当x＝3时，y＝4（有一辆车没装满），此时运费为：3×450+4×300＝2550（元），
当x＝2时，y＝6（有一辆车没装满），此时运费为：2×450+6×300＝2700（元），
故运完这批货物最少要支付运费是2400元．
故答案为：2400．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确结合实际分析是解题关键．
27．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 4 种购买方案．
【分析】设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出该校共有4种购买方案．
【解答】解：设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，
依题意得：120x+150y＝3000，
∴y＝20﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴该校共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
28．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元（两种物品都买），小明的购买方案共有 4 种．
【分析】设购进口罩x包，酒精湿巾y包，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购进口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
29．为迎接北京冬奥会，在A、B两个社区共设置六个摊点售卖冬奥纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，则A、B两社区售出纪念品的总数量之比为 ．
【分析】设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来4×y件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来4×y件纪念品，第四天新运来3×y件纪念品，根据第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，即可找出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出x＝y，用含y的代数式分别表示出两社区售出纪念品的总数量，二者相除后即可得出A、B两社区售出纪念品的总数量之比为．
【解答】解：设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来4×y件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来4×y件纪念品，第四天新运来3×y件纪念品，
依题意得：＝，
化简得：x＝y，
∴A社区售出纪念品的总数量为3（x+4y）＝y（件），B社区售出纪念品的总数量为（x+3y）+（x+3×4×y）+（x+3×4×y+3×y）＝y（件），
∴A、B两社区售出纪念品的总数量之比为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
30．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚 20 人，小和尚 120 人．
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个”列出方程，求得正整数根即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得3x+y＝100．
因为x、y都是正整数，
所以x＝20，y＝120符合题意．
或x＝25，y＝75也符合题意．
故答案为：20；120（答案不唯一）．
【点评】考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
31．把一根长15m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有 2 种．
【分析】设3m长的钢管有b根，根据题意可得2a+3b＝15，即，再由a、b都是正整数，得到一定是正整数，据此求解即可．
【解答】解：设3m长的钢管有b根，
由题意得，2a+3b＝15，
∴，
∵a、b都是正整数，
∴一定是正整数，
∴2a＝6或2a＝12，
∴a＝3或a＝6，
∴a的值可能有2种，
故答案为：2．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
32．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 33m2或50m2 ．
【分析】先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和＞的取值范围，在范围内判断求解即可．
【解答】解：设长方形地块的长为a m，宽为b m，彩旗的单价为x元/个；
由题意可知女生占地的长为（a﹣2）m，宽为（b﹣2）m，
由间隔均为1m，可得女生人数为（a﹣2+1）（b﹣2+1），即为（ab﹣a﹣b+1）人，
由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，
所以男生人数为2（a+I）+2（b﹣1），即为（2a+2b） 人；
∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，
∴4.8（2a+2b）x＝4（ab﹣a﹣b+1）x，
化简得：ab+1＝（a+b），
∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，
a和b都是正整数，且a≥3，b≥3，
∴ab≤60且（a+b）为5的整数倍，
∴a+b＝10或a+b＝15，
∴ab＝33或ab＝50．
故答案为：33m2或50m2．
【点评】本题考查了列代数式和方程在实际问题中的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出代数式，建立方程，通过限定条件，求出未知数的值．
33．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时，第一天，该企业将8吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 3：5 ；第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后，又给A产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（8﹣x）吨，依题意可得4x+1＝2（8﹣x）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m）+1＝2（3+n）+3，进而求解即可得出答案．
【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（8﹣x）吨，依题意可得：
4x+1＝2（8﹣x）+3，
解得：x＝3，
∴分配到B生产线的吨数为8﹣3＝5（吨），
∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为3：5；
∴第二天开工时，给A生产线分配了（3+m）吨原材料，给B生产线分配了（5+n）吨原材料，
∵加工时间相同，
∴4（3+m）+1＝2（5+n）+3，
解得：2m＝n，即，
故答案为：3：5；．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
34．今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 ．
【分析】设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒1.5x个，第二次购进甲种盲盒0.9x个，第二次购进乙种盲盒1.8x个，再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，利用总价＝单价×数量，结合第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后即可得出3m＝2n，进而可求出乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值．
【解答】解：设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒（1+50%）x＝1.5x个，第二次购进甲种盲盒（1﹣40%）×1.5x＝0.9x个，第二次购进乙种盲盒（1+8%）（x+1.5x）﹣0.9x＝1.8x个，
再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，
依题意得：（1+20%）（1.5mx+nx）＝0.9mx+1.8nx，
∴3m＝2n，
∴＝，
即乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
35．为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小组进行小组互助，若七年级某班级共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有 6 种．
【分析】设可以分成4人组x组，6人组y组，根据全班共有60名学生，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出分组方案有6种．
【解答】解：设可以分成4人组x组，6人组y组，
依题意得：4x+6y＝60，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为自然数，
∴或或或或或，
∴分组方案有6种．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
36．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是 22.8% ．
【分析】设去年春季甲的产量为x，去年春季乙的产量为y，根据等量关系：去年春季甲的产量×（1+25%）+去年春季乙的产量×（1+20%）＝（去年春季甲的产量+去年春季乙的产量）×（1+22%），可得3x＝2y，再根据今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，可求今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率．
【解答】解：设去年春季甲的产量为x，去年春季乙的产量为y，依题意有：
（1+25%）x+（1+20%）y＝（1+22%）（x+y），
则3x＝2y，即y＝1.5x，
（1+24%）x+（1+22%）y
＝1.24x+1.22y
＝1.24x+1.83x
＝3.07x
＝1.228×2.5x
＝（1+22.8%）（x+y）．
故今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是22.8%．
故答案为：22.8%．
【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是搞清增产量与总产量的关系．
三．解答题（共10小题）
37．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
（3）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据“用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次可运货物的重量＝每辆车的承载量×租车辆数结合一次要运15吨枇杷，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方程；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出2种租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
（3）方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出2种租车方案所需总费用．
38．抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运货80吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数且a＜b，即可得出各租车方案，利用总租车费用＝每辆车的租车费用×租车数量，可分别求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝80，
∴b＝＝20﹣，
∵a，b均为正整数，
∴解得：，或，或，或，或，或，
∵a＜b，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17＝2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14＝2480（元）；
∵2480＞2440，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
39．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．
（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．
【分析】（1）根据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．
（2）先设未知数表示出M，然后根据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．
【解答】解：（1）∵415是“5阶k级数”，
所以为整数，
∵k＜300，
∴k的最大值为205．
（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，
∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）
∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，
∴与均为整数，
∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，
∴y＝6或1，
当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，
＝＝77x+24﹣，
∴x＝8，
∴M＝8311．
当y＝6时，M﹣4＝1000x+812
＝＝77x+63﹣，
∴x＝6，
∴M＝6816．
综上所述，满足要求的M为8311或6816．
【点评】本题以新定义的形式考查了二元一次不定方程的应用、数的整除规律．读懂材料、正确理解“p阶q级数”的含义是解答本题的关键．
40．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨．
（2）依题意得：2a+3b＝19，
∴a＝．
又∵a，b均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；
方案3：租用A型车2辆，B型车5辆．
（3）选用方案1所需租车费为90×8+110×1＝830（元）；
选用方案2所需租车费为90×5+110×3＝780（元）；
选用方案3所需租车费为90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴选出租车方案3最省钱，最少租车费为730元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
41．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．（假设每辆车均满载）
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 4 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
【分析】（1）设丙型车m辆可将全部物资一次运完，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，根据物资共120吨，运费共9600元列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，根据总辆数14和总吨数列出方程组，根据x，y，z都为正整数确定出值，进而求出总运费即可．
【解答】解：（1）设丙型车x辆可将全部物资一次运完，
根据题意得：5×8+8×5+10m＝120，
解得：m＝4，
则丙型车4辆可将全部物资一次运完；
故答案为：4；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，
根据题意得：，
解得：，
则甲、乙型车各需8辆，10辆；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，
根据题意得：，
消去x得：3y+5z＝50，
∵x，y，z取正整数，
∴x＝2，y＝5，z＝7，
此时总运费为450×2+600×5+700×7＝900+3000+4900＝8800（元），
则三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
42．为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍．
（1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？
（2）销售商家推出两种购买方案，如下表：
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由．
【分析】（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，根据“购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）学校选择购买方案A更划算，利用总价＝单价×数量，结合两种购买方案给出的优惠方法，可得出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每瓶消毒酒精的价格是20元，每台红外测温仪的价格是200元；
（2）学校选择购买方案A更划算，理由如下：
选择方案A所需总费用为20×0.88×20×60+200×0.95×（60﹣）＝31380（元）；
选择方案B所需总费用为20×0.9×20×60+200×0.9×60＝32400（元）．
∵31380＜32400，
∴学校选择购买方案A更划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
43．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据“用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次可运货物的重量＝每辆车的承载量×租车辆数结合一次要运15吨枇杷，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出2种租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，分别求出2种租车方案所需总费用．
44．某出租车公司有A、B两种不同型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）根据用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，可以得到二元一次方程，再根据辆数为正整数，即可得到相应的租车方案；
（3）根据A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，然后代入（2）中的方案中，计算出费用，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，
由题意可得，，
解得，
答：一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；
（2）由题意可得，
3a+4b＝31，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∴该物流公司共有三种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆；
（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，费用为200×1+240×7＝200+1680＝1880（元）；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆，费用为200×5+240×4＝1000+960＝1960（元）；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆，费用为200×9+240×1＝1800+240＝2040（元）；
∵1880＜1960＜2040，
∴物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组和方程．
45．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程3x+4y＝24有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由3x+4y＝24，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程3x+4y＝24的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出满足方程x+2y＝6的正整数解 ，， ．
（2）若为非负整数，则满足条件的正整数x的值有 6 个．
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的签字笔与单价为7元的笔记本两种奖品，共花费63元，问有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解；
（2）先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解；
（3）根据题意列方程，求方程的正整数解．
【解答】解：（1）由x+2y＝6，得y＝（6﹣x）÷2（x、y为正整数）．
∵，
即0＜x＜6，
∴当x＝3时，y＝；
即方程的正整数解是，，
故答案为：，；
（2）同样，若为自然数，
则有：0＜x﹣5≤20，
即5＜x≤25．
当x＝6时，＝20；
当x＝7时，＝10，
当x＝9时，＝5，
当x＝10时，＝4．
当x＝15时，＝2
当x＝25时，＝1．
即满足条件x的值有6个，
故选：6．
（3）设购买单价为4元的笔记本m本，单价为7元的钢笔n支．
则根据题意得：4m+7n＝63，其中m、n均为自然数．
∴n＝，
则有：，
解得：0＜m＜9．
由于n＝为正整数，则63﹣4m为正整数，且为7的倍数．
∴当m＝7时，n＝5；
当m＝14时，n＝1；
答：有两种购买方案：①购买4元的笔记本7本，单价为7元的钢笔5支；
②购买4元的笔记本14本，单价为7元的钢笔1支．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所以不可能出现小数和负数，是正整数．
46．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
（1）购买冰墩墩钥匙扣 （30﹣x﹣y） 个（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【分析】（1）利用购买冰墩墩钥匙扣的数量＝30﹣购买冰墩墩手办的数量﹣购买冰墩墩挎包的数量，即可用含x，y的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量；
（2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（30﹣x﹣y）均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）利用销售总利润＝每个的销售利润×销售数量（进货数量），可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵购买冰墩墩手办x个，冰墩墩挎包y个，
∴购买冰墩墩钥匙扣（30﹣x﹣y）个．
故答案为：（30﹣x﹣y）；
（2）根据题意得：40x+50y+25（30﹣x﹣y）＝1050，
∴x＝20﹣y，
又∵x，y，（30﹣x﹣y）均为正整数，
∴或或，
∴商场共有3种购进方案，
方案1：购买冰墩墩手办15个，冰墩墩挎包3个，冰墩墩钥匙扣12个；
方案2：购买冰墩墩手办10个，冰墩墩挎包6个，冰墩墩钥匙扣14个；
方案3：购买冰墩墩手办5个，冰墩墩挎包9个，冰墩墩钥匙扣16个．
（3）选择方案1可获利15×15+20×3+12×12＝429（元）；
选择方案2可获利15×10+20×6+12×14＝438（元）；
选择方案3可获利15×5+20×9+12×16＝447（元）．
∵429＜438＜447，
∴应选择购进方案3，此时获利为447元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案可获得的总利润．
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票价（元/人）
指定日
普通票
160
优惠票
100
平日
普通票
120
优惠票
80
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
450
小货车
5
300
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
8
10
运费（元/辆）
450
600
700
购买方案
消毒酒精
红外测温仪
附加优惠
A
8.8折
9.5折
每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪
B
9折
9折
无
冰墩墩钥匙扣
冰墩墩手办
冰墩墩挎包
价格（元/个）
25
40
50
销售获利（元/个）
12
15
20
票种
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类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大货车
8
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小货车
5
300
车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
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运费（元/辆）
450
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700
购买方案
消毒酒精
红外测温仪
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A
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每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪
B
9折
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无
冰墩墩钥匙扣
冰墩墩手办
冰墩墩挎包
价格（元/个）
25
40
50
销售获利（元/个）
12
15
20
A．6种B．7种C．8种D．9种
2．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
3．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
5．把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．9种
6．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
7．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
8．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
9．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
12．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
13．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
14．为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（ ）
A．11B．12C．14D．16
15．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
16．把一根17米的钢管截成3m长和2m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？共有（ ）种不同的截法．
A．1B．2C．3D．无数
17．新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
18．把一根长为7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管（损耗忽略不计），不造成浪费的截法共有（ ）
A．0种B．1种C．2种D．3种
二．填空题（共18小题）
19．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ．
20．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
21．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
22．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 种购买方案．
23．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案．
24．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：
注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；
注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；
注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．
某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有 人．
25．把一根长20m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，不同的截法有 种．
26．甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 元．
27．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 种购买方案．
28．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元（两种物品都买），小明的购买方案共有 种．
29．为迎接北京冬奥会，在A、B两个社区共设置六个摊点售卖冬奥纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，则A、B两社区售出纪念品的总数量之比为 ．
30．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚 人，小和尚 人．
31．把一根长15m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有 种．
32．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 ．
33．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时，第一天，该企业将8吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ；第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后，又给A产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
34．今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 ．
35．为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小组进行小组互助，若七年级某班级共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有 种．
36．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是 ．
三．解答题（共10小题）
37．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
（3）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
38．抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
39．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．
（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．
40．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
41．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．（假设每辆车均满载）
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
42．为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍．
（1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？
（2）销售商家推出两种购买方案，如下表：
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由．
43．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
44．某出租车公司有A、B两种不同型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
45．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程3x+4y＝24有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由3x+4y＝24，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程3x+4y＝24的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出满足方程x+2y＝6的正整数解 ．
（2）若为非负整数，则满足条件的正整数x的值有 个．
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的签字笔与单价为7元的笔记本两种奖品，共花费63元，问有哪几种购买方案？
46．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
（1）购买冰墩墩钥匙扣 个（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
二元一次方程的应用精选题46道
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【分析】设兑换成10元x张，20元的零钱y张，根据题意可得等量关系：10x张+20y张＝100元，根据等量关系列出方程求整数解即可．
【解答】解：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：
10x+20y＝100，
整理得：x+2y＝10，
方程的整数解为：，，，，，，
因此兑换方案有6种，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
2．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】先设原来的两位数为10a+b，根据交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数比原两位数大9，列出方程，得出b＝a+1，因此a可取1到8个数，并且这8个数的特点都是个位数字比十位数字大1的两位数．
【解答】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：
10a+b+9＝10b+a，
解得：b＝a+1，
因为a可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数，注意不要漏数．
3．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【解答】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，
化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，
∵x，y为正整数，
∴，，
∴有2种购买方案：
方案1：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；
方案2：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
4．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】根据题意得出方程，进而得出方程的整数解解答即可．
【解答】解：设A型x个，B型口罩y个，
可得：6x+4y＝40，
因为x，y取正整数，
解得：，，，
所以小明的购买方案有三种，
故选：B．
【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是根据二元一次方程的解解答．
5．把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．9种
【分析】可列二元一次方程解决这个问题．
【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴，，，．
故选：B．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
6．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有5种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：15x+10y＝180，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴共有5种购买方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【分析】根据题意列出二元一次方程求得正整数解即可．
【解答】解：设买了x支钢笔，y支圆珠笔，
根据题意得：5x+2y＝30，
∵x、y是正整数，
∴或，
∴小明共有2种购买方法，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，难度不大．
9．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数），则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a，根据题意得出10b+a﹣（10a+b）＝45，整理得b﹣a＝5，再进一步求解即可．
【解答】解：设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数），
则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a，
根据题意，得：10b+a﹣（10a+b）＝45，
整理，得：b﹣a＝5，
当b＝9时，a＝4，此时两位数为49，
当b＝8时，a＝3，此时两位数为38，
当b＝7时，a＝2，此时两位数为27，
当b＝6时，a＝1，此时两位数为16，
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据新两位数比原两位数大45列出相应的二元一次方程．
10．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据“购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元”列二元一次方程，再由x和y分别取正整数，即可确定购买方案．
【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，
根据题意，得15x+20y＝360，
∴y＝18﹣x，
∵两种都买，
∴18﹣x＞0，x、y都是正整数，
解得x＜24，
故x是4的倍数且x＜24，
∴x＝4，y＝15或x＝8，y＝12或x＝12，y＝9或x＝16，y＝6或x＝20，y＝3；
∴共有5种购买方案，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立二元一次方程是解题的关键．
11．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设租用A型车x辆，B型车y辆，由题意：A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，
由题意得：3x+4y＝31，
则x＝，
∵x、y为正整数，
∴或或，
∴租车方案共有3种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
【分析】设购买了A笔记本x本，B笔记本y本，根据共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的B两种笔记本，进而结合x，y为正整数，求出答案．
【解答】解：设购买了A笔记本x本，B笔记本y本，
根据题意可得：6x+12y＝42，
化简得：x＝7﹣2y，
∵x，y为正整数，
∴符合题意的方案有：，，，
即：有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．
13．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以买x个A型口罩，y个B型口罩，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设可以买x个A型口罩，y个B型口罩，
依题意得：6x+4y＝40，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（ ）
A．11B．12C．14D．16
【分析】设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，根据总长度为18米长列出方程，然后求a的取值．
【解答】解：设用剪刀剪出了（a﹣1）段长度为x米（长度为整数）的彩带，
根据题意，得5+7+（a﹣1）x＝18．
整理，得x＝．
因为6≥x＞0且x为整数，a﹣1≥2，
所以a的值可以为：3或4或7．
所以3+4+7＝14．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题时，需要注意，剪刀剪了a次时，彩带被剪成了（a+1）段．
15．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【分析】设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，
依题意，得：5m+2n＝50，
∴m＝10﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝5时，m＝8；当n＝10时，m＝6；当n＝15时，m＝4；当n＝20时，m＝2．
∴共有4种兑换方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16．把一根17米的钢管截成3m长和2m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？共有（ ）种不同的截法．
A．1B．2C．3D．无数
【分析】设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，根据截成钢管的总长度为17m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以截成x段3m长，y段2m长的钢管，
依题意得：3x+2y＝17，
∴y＝．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种不同的截法．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
17．新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以购买x包A型口罩，y包B型口罩，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设可以购买x包A型口罩，y包B型口罩，
依题意得：6x+4y＝40，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．把一根长为7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管（损耗忽略不计），不造成浪费的截法共有（ ）
A．0种B．1种C．2种D．3种
【分析】截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
【解答】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，
设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y＝7，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：，，，
则有3种不同的截法．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．
二．填空题（共18小题）
19．某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 9：10 ．
【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为3a、2a、4a；b、2b、b．可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到A的五月销售数量，因此可以设六月份A的销售量为x，再根据A六月份的单价求出六月份A的销售额，和B的销售额．可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
【解答】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、2a、4a，单价为b、2b、b；六月份A的销售量为x．
∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.2bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷2×3＝1.8bx．
∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣3ab，1.8bx﹣4ab．
又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1，
∴C饮料增加的销售额为（1.8bx﹣4ab）÷2＝0.9bx﹣2ab，
∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣2ab+4ab＝0.9bx+2ab．
∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
∴（1.2bx﹣3ab）÷＝1.2bx+1.8bx+0.9bx+2ab，
∴18bx﹣45ab＝3.9bx+2ab，
∵b≠0，
∴18x﹣45a＝3.9x+2a，
∴14.1x＝47a，
∴3a＝，
∴＝．
即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10．
故答案为9：10．
【点评】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
20．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
【分析】先求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27元，得出乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），求出＝．
【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
21．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 x+2y＝32 ．
【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【点评】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
22．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 3 种购买方案．
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：4x+3y＝48，
∴x＝12﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
23．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 2 种购买方案．
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．
【解答】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，
20x+35y＝365，
得x＝，
∵x，y必须为正整数，
∴＞0，即0＜y＜，
∴当y＝3时，x＝13
当y＝7时，x＝6．
所以有两种方案．
故答案为：2．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程然后根据解为正整数确定值从而得出结果．
24．北京世界园艺博览会（简称“世园会”）园区4月29日正式开园，门票价格如下：
注1：“指定日”为开园日（4月29日）、五一劳动节（5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；
注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；
注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．
某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有 3 人．
【分析】设该家庭中可以购买优惠票的有x人，购买普通票的有y人，由题意得二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设该家庭中可以购买优惠票的有x人，购买普通票的有y人，由题意得：
②﹣①得：12y＝84
∴y＝7 ③
将③代入②得：80x+120×7＝1080
解得：x＝3
故答案为：3．
【点评】此题考查了二元一次方程组在生活实际中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键．
25．把一根长20m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，不同的截法有 3 种．
【分析】设可以截成x根2m长，y根3m长的短钢管，根据短钢管的总长度为20m，可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种不同的截法．
【解答】解：设可以截成x根2m长，y根3m长的短钢管，
根据题意得：2x+3y＝20，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种不同的截法．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
26．甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：
运完这批货物最少要支付运费 2400 元．
【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案．
【解答】解：设租用大货车x辆，小货车y辆，由题意得：
8x+5y＝42，
整数解为：，此时运费为：4×450+2×300＝2400（元），
当x＝6时，y＝0，此时运费为：6×450＝2700（元），
当x＝5时，y＝1（此车没装满），此时运费为：5×450+1×300＝2550（元），
当x＝3时，y＝4（有一辆车没装满），此时运费为：3×450+4×300＝2550（元），
当x＝2时，y＝6（有一辆车没装满），此时运费为：2×450+6×300＝2700（元），
故运完这批货物最少要支付运费是2400元．
故答案为：2400．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确结合实际分析是解题关键．
27．某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有 4 种购买方案．
【分析】设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出该校共有4种购买方案．
【解答】解：设购买A品牌足球x个，B品牌足球y个，
依题意得：120x+150y＝3000，
∴y＝20﹣x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴该校共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
28．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元（两种物品都买），小明的购买方案共有 4 种．
【分析】设购进口罩x包，酒精湿巾y包，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购进口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10﹣y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
29．为迎接北京冬奥会，在A、B两个社区共设置六个摊点售卖冬奥纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，则A、B两社区售出纪念品的总数量之比为 ．
【分析】设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来4×y件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来4×y件纪念品，第四天新运来3×y件纪念品，根据第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，即可找出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出x＝y，用含y的代数式分别表示出两社区售出纪念品的总数量，二者相除后即可得出A、B两社区售出纪念品的总数量之比为．
【解答】解：设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来4×y件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来4×y件纪念品，第四天新运来3×y件纪念品，
依题意得：＝，
化简得：x＝y，
∴A社区售出纪念品的总数量为3（x+4y）＝y（件），B社区售出纪念品的总数量为（x+3y）+（x+3×4×y）+（x+3×4×y+3×y）＝y（件），
∴A、B两社区售出纪念品的总数量之比为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
30．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚 20 人，小和尚 120 人．
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个”列出方程，求得正整数根即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得3x+y＝100．
因为x、y都是正整数，
所以x＝20，y＝120符合题意．
或x＝25，y＝75也符合题意．
故答案为：20；120（答案不唯一）．
【点评】考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
31．把一根长15m的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有 2 种．
【分析】设3m长的钢管有b根，根据题意可得2a+3b＝15，即，再由a、b都是正整数，得到一定是正整数，据此求解即可．
【解答】解：设3m长的钢管有b根，
由题意得，2a+3b＝15，
∴，
∵a、b都是正整数，
∴一定是正整数，
∴2a＝6或2a＝12，
∴a＝3或a＝6，
∴a的值可能有2种，
故答案为：2．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
32．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为 33m2或50m2 ．
【分析】先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和＞的取值范围，在范围内判断求解即可．
【解答】解：设长方形地块的长为a m，宽为b m，彩旗的单价为x元/个；
由题意可知女生占地的长为（a﹣2）m，宽为（b﹣2）m，
由间隔均为1m，可得女生人数为（a﹣2+1）（b﹣2+1），即为（ab﹣a﹣b+1）人，
由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，
所以男生人数为2（a+I）+2（b﹣1），即为（2a+2b） 人；
∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，
∴4.8（2a+2b）x＝4（ab﹣a﹣b+1）x，
化简得：ab+1＝（a+b），
∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，
a和b都是正整数，且a≥3，b≥3，
∴ab≤60且（a+b）为5的整数倍，
∴a+b＝10或a+b＝15，
∴ab＝33或ab＝50．
故答案为：33m2或50m2．
【点评】本题考查了列代数式和方程在实际问题中的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出代数式，建立方程，通过限定条件，求出未知数的值．
33．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时，第一天，该企业将8吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 3：5 ；第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后，又给A产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（8﹣x）吨，依题意可得4x+1＝2（8﹣x）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m）+1＝2（3+n）+3，进而求解即可得出答案．
【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（8﹣x）吨，依题意可得：
4x+1＝2（8﹣x）+3，
解得：x＝3，
∴分配到B生产线的吨数为8﹣3＝5（吨），
∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为3：5；
∴第二天开工时，给A生产线分配了（3+m）吨原材料，给B生产线分配了（5+n）吨原材料，
∵加工时间相同，
∴4（3+m）+1＝2（5+n）+3，
解得：2m＝n，即，
故答案为：3：5；．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
34．今年1月份，某商店分两次购进了甲、乙两种新年盲盒．第一次购进甲种盲盒的数量比乙种盲盒的数量多50%，第二次购进甲种盲盒的数量比第一次购进甲种盲盒的数量少40%，结果第二次购进盲盒的总数量比第一次购进盲盒的总数量多8%，其中甲种盲盒第二次与第一次购进的单价相同，乙种盲盒第二次与第一次购进的单价也相同，若第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，则乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为 ．
【分析】设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒1.5x个，第二次购进甲种盲盒0.9x个，第二次购进乙种盲盒1.8x个，再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，利用总价＝单价×数量，结合第二次购进甲、乙盲盒的总费用比第一次购买甲、乙盲盒的总费用多20%，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后即可得出3m＝2n，进而可求出乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值．
【解答】解：设第一次购进乙种盲盒x个，则第一次购进甲种盲盒（1+50%）x＝1.5x个，第二次购进甲种盲盒（1﹣40%）×1.5x＝0.9x个，第二次购进乙种盲盒（1+8%）（x+1.5x）﹣0.9x＝1.8x个，
再设甲种盲盒的单价为m元，乙种盲盒的单价为n元，
依题意得：（1+20%）（1.5mx+nx）＝0.9mx+1.8nx，
∴3m＝2n，
∴＝，
即乙种盲盒的单价与甲种盲盒的单价的比值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
35．为了让学生在课堂中深度学习，刘老师计划将学生分成若干小组进行小组互助，若七年级某班级共有60名学生，每小组只能是4人或6人，则分组方案有 6 种．
【分析】设可以分成4人组x组，6人组y组，根据全班共有60名学生，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出分组方案有6种．
【解答】解：设可以分成4人组x组，6人组y组，
依题意得：4x+6y＝60，
∴y＝10﹣x．
又∵x，y均为自然数，
∴或或或或或，
∴分组方案有6种．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
36．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是 22.8% ．
【分析】设去年春季甲的产量为x，去年春季乙的产量为y，根据等量关系：去年春季甲的产量×（1+25%）+去年春季乙的产量×（1+20%）＝（去年春季甲的产量+去年春季乙的产量）×（1+22%），可得3x＝2y，再根据今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，可求今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率．
【解答】解：设去年春季甲的产量为x，去年春季乙的产量为y，依题意有：
（1+25%）x+（1+20%）y＝（1+22%）（x+y），
则3x＝2y，即y＝1.5x，
（1+24%）x+（1+22%）y
＝1.24x+1.22y
＝1.24x+1.83x
＝3.07x
＝1.228×2.5x
＝（1+22.8%）（x+y）．
故今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是22.8%．
故答案为：22.8%．
【点评】此题考查二元一次方程的应用，关键是搞清增产量与总产量的关系．
三．解答题（共10小题）
37．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
（3）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据“用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次可运货物的重量＝每辆车的承载量×租车辆数结合一次要运15吨枇杷，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方程；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出2种租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
（3）方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出2种租车方案所需总费用．
38．抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为武汉捐赠物资．某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运货80吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数且a＜b，即可得出各租车方案，利用总租车费用＝每辆车的租车费用×租车数量，可分别求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝80，
∴b＝＝20﹣，
∵a，b均为正整数，
∴解得：，或，或，或，或，或，
∵a＜b，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；
方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；
方案1所需租金为100×4+120×17＝2440（元）；
方案2所需租金为100×8+120×14＝2480（元）；
∵2480＞2440，
∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，
答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
39．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．
（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．
【分析】（1）根据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．
（2）先设未知数表示出M，然后根据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．
【解答】解：（1）∵415是“5阶k级数”，
所以为整数，
∵k＜300，
∴k的最大值为205．
（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，
∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）
∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，
∴与均为整数，
∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，
∴y＝6或1，
当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，
＝＝77x+24﹣，
∴x＝8，
∴M＝8311．
当y＝6时，M﹣4＝1000x+812
＝＝77x+63﹣，
∴x＝6，
∴M＝6816．
综上所述，满足要求的M为8311或6816．
【点评】本题以新定义的形式考查了二元一次不定方程的应用、数的整除规律．读懂材料、正确理解“p阶q级数”的含义是解答本题的关键．
40．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮我们设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨．
（2）依题意得：2a+3b＝19，
∴a＝．
又∵a，b均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；
方案3：租用A型车2辆，B型车5辆．
（3）选用方案1所需租车费为90×8+110×1＝830（元）；
选用方案2所需租车费为90×5+110×3＝780（元）；
选用方案3所需租车费为90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴选出租车方案3最省钱，最少租车费为730元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
41．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示．（假设每辆车均满载）
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 4 辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆？
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
【分析】（1）设丙型车m辆可将全部物资一次运完，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，根据物资共120吨，运费共9600元列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，根据总辆数14和总吨数列出方程组，根据x，y，z都为正整数确定出值，进而求出总运费即可．
【解答】解：（1）设丙型车x辆可将全部物资一次运完，
根据题意得：5×8+8×5+10m＝120，
解得：m＝4，
则丙型车4辆可将全部物资一次运完；
故答案为：4；
（2）设甲、乙型车各需a辆，b辆，
根据题意得：，
解得：，
则甲、乙型车各需8辆，10辆；
（3）设三种型号的车各需x辆，y辆，z辆，
根据题意得：，
消去x得：3y+5z＝50，
∵x，y，z取正整数，
∴x＝2，y＝5，z＝7，
此时总运费为450×2+600×5+700×7＝900+3000+4900＝8800（元），
则三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
42．为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍．
（1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？
（2）销售商家推出两种购买方案，如下表：
该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由．
【分析】（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，根据“购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）学校选择购买方案A更划算，利用总价＝单价×数量，结合两种购买方案给出的优惠方法，可得出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每瓶消毒酒精的价格是20元，每台红外测温仪的价格是200元；
（2）学校选择购买方案A更划算，理由如下：
选择方案A所需总费用为20×0.88×20×60+200×0.95×（60﹣）＝31380（元）；
选择方案B所需总费用为20×0.9×20×60+200×0.9×60＝32400（元）．
∵31380＜32400，
∴学校选择购买方案A更划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
43．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【分析】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据“用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次可运货物的重量＝每辆车的承载量×租车辆数结合一次要运15吨枇杷，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出2种租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．
（2）依题意，得：3m+2n＝15，
∴m＝5﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝3时，m＝3；当n＝6时，m＝1．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，3辆乙型车；方案2：租用1辆甲型车，6辆乙型车．
方案1所需租金180×3+200×3＝1140（元）；
方案2所需租金180×1+200×6＝1380（元）．
∵1140＜1380，
∴租用3辆甲型车和3辆乙型车最省钱，最少租车费用为1140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，分别求出2种租车方案所需总费用．
44．某出租车公司有A、B两种不同型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）根据用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，可以得到二元一次方程，再根据辆数为正整数，即可得到相应的租车方案；
（3）根据A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，然后代入（2）中的方案中，计算出费用，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，
由题意可得，，
解得，
答：一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；
（2）由题意可得，
3a+4b＝31，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∴该物流公司共有三种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆；
（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，费用为200×1+240×7＝200+1680＝1880（元）；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆，费用为200×5+240×4＝1000+960＝1960（元）；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆，费用为200×9+240×1＝1800+240＝2040（元）；
∵1880＜1960＜2040，
∴物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组和方程．
45．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程3x+4y＝24有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由3x+4y＝24，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程3x+4y＝24的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出满足方程x+2y＝6的正整数解 ，， ．
（2）若为非负整数，则满足条件的正整数x的值有 6 个．
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的签字笔与单价为7元的笔记本两种奖品，共花费63元，问有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解；
（2）先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解；
（3）根据题意列方程，求方程的正整数解．
【解答】解：（1）由x+2y＝6，得y＝（6﹣x）÷2（x、y为正整数）．
∵，
即0＜x＜6，
∴当x＝3时，y＝；
即方程的正整数解是，，
故答案为：，；
（2）同样，若为自然数，
则有：0＜x﹣5≤20，
即5＜x≤25．
当x＝6时，＝20；
当x＝7时，＝10，
当x＝9时，＝5，
当x＝10时，＝4．
当x＝15时，＝2
当x＝25时，＝1．
即满足条件x的值有6个，
故选：6．
（3）设购买单价为4元的笔记本m本，单价为7元的钢笔n支．
则根据题意得：4m+7n＝63，其中m、n均为自然数．
∴n＝，
则有：，
解得：0＜m＜9．
由于n＝为正整数，则63﹣4m为正整数，且为7的倍数．
∴当m＝7时，n＝5；
当m＝14时，n＝1；
答：有两种购买方案：①购买4元的笔记本7本，单价为7元的钢笔5支；
②购买4元的笔记本14本，单价为7元的钢笔1支．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所以不可能出现小数和负数，是正整数．
46．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表：
（1）购买冰墩墩钥匙扣 （30﹣x﹣y） 个（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【分析】（1）利用购买冰墩墩钥匙扣的数量＝30﹣购买冰墩墩手办的数量﹣购买冰墩墩挎包的数量，即可用含x，y的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量；
（2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（30﹣x﹣y）均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）利用销售总利润＝每个的销售利润×销售数量（进货数量），可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵购买冰墩墩手办x个，冰墩墩挎包y个，
∴购买冰墩墩钥匙扣（30﹣x﹣y）个．
故答案为：（30﹣x﹣y）；
（2）根据题意得：40x+50y+25（30﹣x﹣y）＝1050，
∴x＝20﹣y，
又∵x，y，（30﹣x﹣y）均为正整数，
∴或或，
∴商场共有3种购进方案，
方案1：购买冰墩墩手办15个，冰墩墩挎包3个，冰墩墩钥匙扣12个；
方案2：购买冰墩墩手办10个，冰墩墩挎包6个，冰墩墩钥匙扣14个；
方案3：购买冰墩墩手办5个，冰墩墩挎包9个，冰墩墩钥匙扣16个．
（3）选择方案1可获利15×15+20×3+12×12＝429（元）；
选择方案2可获利15×10+20×6+12×14＝438（元）；
选择方案3可获利15×5+20×9+12×16＝447（元）．
∵429＜438＜447，
∴应选择购进方案3，此时获利为447元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案可获得的总利润．
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类型
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大货车
8
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车型
甲
乙
丙
运载量（吨/辆）
5
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运费（元/辆）
450
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购买方案
消毒酒精
红外测温仪
附加优惠
A
8.8折
9.5折
每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪
B
9折
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无
冰墩墩钥匙扣
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价格（元/个）
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