福建省福州市时代华威中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．正方形可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，也可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，也是轴对称图形，故选项符合题意；
B．平行四边形可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．等腰直角三角形可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．等边三角形可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：2故选：D．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、单项式乘多项式、同底数幂的乘法的法则依次判断即可．
【详解】A：，故此选项错误；
B：，故此选项错误；
C：，故此选项正确；
D：，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键．
5. 合并同类项时，依据的运算律是（ ）
A. 乘法分配律B. 乘法交换律C. 加法交换律D. 乘法结合律
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘法运算律和加法运算律进行判断即可．
【详解】解：合并同类项时，依据的运算律是乘法分配律，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查合并同类项，合并同类项的步骤是：（1）准确的找出同类项；（2）逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；（3）写出合并后的结果．
6. 下面是推导“对顶角相等”的过程，“”处应填的内容是（ ）
如图，已知直线，相交于点，
∵，（邻补角的定义）
∴（）．
A. 等角的补角相等B. 等量代换
C. 邻补角互补D. 同角的补角相等
【答案】BD
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角相等的证明，熟练掌握证明对顶角相等的方法和步骤是解题关键．由邻补角的定义可得，，然后根据等量代换可得，即可证明结论．
【详解】解：已知直线，相交于点，
∵，（邻补角的定义），
∴（等量代换或同角的补角相等）．
故选：BD．
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
8. 老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是 ，则符合题意的另一个方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹．再由题意：若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，列出另一个方程即可．
【详解】∵小南已列出一个方程是，
∴设老牛驮个包裹，小马驮个包裹．
由题意得：，
即符合题意的另一个方程为： ，
故选：D．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
9. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键．
【详解】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限，
∴，，
∴，
又∵当时，，
∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧．
故选：A．
10. 若关于的方程恰有两个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，令，，关于的方程恰有两个实根，即函数和恰好有两个交点，据此结合函数图象分别求出当直线恰好经过时，当直线恰好经过时，当直线与抛物线恰好只有一个交点时，三种情况下m的值即可得到答案．
【详解】解：令，，
∴或，此时或；
∵关于的方程恰有两个实根，
∴函数和恰好有两个交点，
如图所示，当直线恰好经过时，则，解得，
当直线恰好经过时，则，解得，
∴当时，函数和恰好有两个交点；
当直线与抛物线恰好只有一个交点时，
联立得，
∴，
∴，
∴当时函数和恰好有两个交点；
综上所述，或，
故选：B．
二、填空题（共6小题）
11. 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
详解】解：∵，，
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12. 因式分解： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，运用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 已知，是一元二次方程的两根，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案：2．
14. 商场服装部为了调动营业员的积极性，计划实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．
去年销售额的情况如表所示，拟让一半左右的营业员都能获得奖励，则今年销售目标应定为______万元．
【答案】16
【解析】
【分析】根据中位数的定义，即可得到结论．
【详解】解：如果想让一半左右的营业员都能都能获得奖励，中位数最适合作为销售目标；
∵一共有15人，位于中间的值为16万元；
∴中位数为16万元，
∴今年销售目标应定为16万元．
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
15. 如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的值等于__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，连接，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出及的长，利用勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，可得出，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．
【详解】解：连接，设小正方形的边长为1，
根据勾股定理可以得到：．
∵．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
则．
故答案为：．
16. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得.
【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，
过E作EG⊥AD，垂足为G，
在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，
在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，
过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，
设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，
在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即+2-a2=16，
∴a=，
∴CH=FH=，
∴AC=AE+EH+HC=，
故答案为.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
三、解答题（共9小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，熟记相关定义与公式是解答本题的关键．
分别根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的定义、以及绝对值的性质计算即可．
【详解】
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．
【详解】证明：∵E是BC中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．
【详解】原式
当时，
原式．
【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．
20. 喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热1分钟后断电，烧水时水温y（℃）与时间成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（℃）与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中AB段和CD段所对应的函数关系式；
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点C和点B的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝80代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【小问1详解】
解：停止加热时，设，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
【小问2详解】
把y＝80代入y＝，得，
因此从烧水开到泡茶需要等待分钟．
【点睛】本题考查了求一次函数解析，求反比例函数的解析式，反比例函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数和一次函数模型，解题时注意根据图象确定对应函数的取值范围．
21. 如图，已知．
（1）尺规作图：在边上作一点，使的周长等于；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求AD长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段垂直平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）如图所示，作线段垂直平分线交于点D，则点D即为所求；
（2）先由等边对等角得到，则可证明，利用相似三角形的性质求出，则．
【小问1详解】
解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点D，则点D即为所求；
易得，则由三角形周长公式可得的周长等于；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
22. 如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．

（1）求证：是的切线：
（2）若与相切于点，，，求阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）阴影部分面积为
【解析】
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）连接，可证明四边形是正方形，则，，设，则，，由勾股定理得，求得，则．
【小问1详解】
证明：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
设，
，，，
，且，，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，
阴影部分面积为．
23. 闽江两岸层层绿树，枝头缀满“红果”，色彩斑斓绚丽，这种红果就是福桔，人们誉之为“闽江桔子红”．福州风俗以“红”见好，且“桔”与“吉”音似，所以福桔成为民间吉祥物和赠品．某超市计划二月份订购一批“福桔”，每天进货量相同，进货成本每斤6元，售价每斤8元，未售出的福桔进行降价出售，以每斤4元的价格当天全部处理完．福桔每天需求量与当天客流量有关，为了确定今年二月份的订购计划，超市统计了前三年二月份日平均客流量数据，如下表所示，（2月份天数为28天）
（1）以前三年二月份日平均客流量为样本，估计“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率；
（2）该超市二月份福桔每天的进货量为x斤，试以“平均每天销售利润y元”为决策依握，说明当为何值时，取得最大值．
【答案】（1）
（2）时，y最大
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，一次函数的实际应用：
（1）用日平均客流量不低于1500的天数除以总天数即可得到答案；
（2）分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应的利润，进而求出y与x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴估计“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率为；
【小问2详解】
解：由题意得，当时，利润为元，
当时，利润为元，
当时，利润元，
∴
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y最大；
24. 如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转度（），GF与AB交于点H．
（1）当时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，时，求BC的长．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠GBH=30°，再利用锐角三角函数，即可求解；
（2）①连接BF，根据正方形的性质可得，∠CBE=∠DBF，可证得△CBE∽△DBF，即可求解；②先证明△DFM∽△BDM，可得，再设BC=a，则AB=AD=a，，可得，从而得到，进而得到，可得到，在中，由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：在正方形BEFG中，BG=BE=2，∠G=90°，
根据题意得：∠GBH=30°，
∴；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
如图，连接BF，
在正方形ABCD和BEFG中，△BCD和△BEF为等腰直角三角形，
∴，∠CBD=∠EBF=45°，
∴，∠CBE=∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
∴，
∴；
②如图，
在正方形ABCD和BEFG中，∠BFG=∠ADB=45°，AB=BC=AD，，
∵∠DFM=∠BFG，
∴∠ADB=∠DFM，
∵∠DMF=∠DMB，
∴△DFM∽△BDM，
∴，
设BC=a，则AB=AD=a，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：，
在中，，
∴，解得：或（舍去），
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
25. 抛物线的对称轴是轴，与轴交于A、B两点且点坐标是，与轴交于点，且．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点是抛物线在第一象限上一点，且．求点坐标；
（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于点，请问是定值吗？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点坐标为，或，
（3）的值为3
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，三角形面积，解直角三角形，二次函数的性质，解方程组等知识，利用参数列方程组是本题的关键．
（1）根据抛物线的对称性可得点坐标是，再由，可得，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）由题意得，过点作轴于点，过点作，使，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，连接交抛物线于点，先证得，得出，运用待定系数法可求得：直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组即可求得答案；
（3）设，则，运用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，进而得出：，，即可求得答案．
【小问1详解】
抛物线的对称轴是轴，
，
点坐标是，
点坐标是，
，
，
，
，
，
把代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
，
过点作轴于点，
则，，
在中，，
过点作，使，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
连接交抛物线于点，连接交抛物线于点，
则，，，
，，
，
∴，
，即，
，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与抛物线联立，得：，
解得：（舍去），，
当时，，
，；
同理可得，直线的解析式为，
与抛物线联立，得：，
解得：（舍去），，
当时，，
，；
综上所述，点坐标为，或，；
【小问3详解】
由（1）知：，，如图，
、两点关于轴对称，
设，则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，
，
，
，，
，
故的值为3．
年销售额（万元）
13
14
15
16
17
18
人数（人）
1
1
5
4
3
1
客流量m（人）
天数（天）
21
42
21
福桔每天需求量（斤）
200
300
400