2024年天津市西青区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案．
【详解】解：∵，即：，
∴的值在4和5之间，
故选C．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确得出与无理数接近的两个连续的整数是解决此类型题目的关键，“无限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边数，第1列上下两层各有1个小正方形，第2列下面一层有1个小正方形，第3列上下两层各有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：B．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可．
【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断B、C、D都不符合轴对称图形的定义．
故选A．
5. 第届杨柳青国潮灯展主题活动引爆假日文旅市场，春节期间累计接待游客人次．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：用科学记数法将数据表示为，
故选：C．
6. 的值等于（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了异分母分式的相加减，将原式通分，相减后再约分即可得出结果．
【详解】解：
．
故选：D．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，且，
∴，
故选：C．
9. 已知方程的两根分别为，，则式子的值等于（ ）
A. B. 0C. 3D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可得到答案．
【详解】解：方程的两根分别为，
，
．
故选A．
10. 如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分和勾股定理即可求出答案．
【详解】解：设与相交于点，如图：
，
四边形是菱形，
，，
，
，，
又，
故选B
11. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，根据旋转的性质和直角三角形的性质，勾股定理求出，根据旋转的性质和三角形三边关系可以判断，无法判断，．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
根据旋转可知：，，，
∴，，
设，则，
，
∴，故B正确．
根据题意无法判断，，故A、C错误；
∵，，
∴，故D错误；
故选：B．
12. 如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论：
①当的长是时，劳动基地的面积是；
②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为；
③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：①当的长是时，，
劳动基地的面积是，说法正确；
②设的长是时，则，
若的面积为，
则
或，说法正确；
③设的长是，的面积为
由题意可得，
解得：，
∵，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，面积有最大值，
∵时，面积为，时，面积为，
∴面积的最小值为，说法正确，
综上，3个说法都正确，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案直接写在“答题纸”上．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的公式，根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求得答案．
【详解】解：∵不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个绿球，
∴从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
14. 计算的结果等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 计算的结果是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，正确运用平方差公式计算是本题的关键．
16. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案．
【详解】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为，
将代入得
解得，
故答案为：．
17. 如图，在中，对角线，相交于点，，，为上一点，平分，过点作于点，交于点．
（1）写出图中的一个等腰直角三角形是______；
（2）若，则的长为______．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 4
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义即可求解；
（2）过点作，由是等腰三角形，根据三线合一可知点是的中点，可证得，根据已知可求得，从而得，为等腰直角三角形，可得，因此可证明，则，在中，利用勾股定理可求得，即得答案．
【详解】（1）解：
是等腰直角三角形
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：过点作，交于，
，
由题意得：
.
又BE平分，
，点为的中点，
，
，
，
又
，
，
，
又，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得（负值不符合题意，已舍去），即，
．
故答案为：4．
【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上．
（1）线段的长等于______；
（2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，
（1）利用勾股定理可得答案；
（2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图．
【详解】（1）解：在中，；
故答案为：．
（2）解：如图所示，
如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点；
取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集：
（1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（3）根据（1）（2）所求在数轴上表示不等式组的解集即可；
（4）根据（3）所求即可得到答案．
【小问1详解】
解：
移项得： ，
合并同类项得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
移项得： ，
合并同类项得：，
系数化为1得：
故答案为：；
【小问3详解】
解：数轴表示如下所示：
【小问4详解】
解：由数轴可知，不等式组的解集为，
故答案为：．
20. 为了解学生体育锻炼的效果，某中学随机调查了部分学生进行篮球定时定点投篮的个数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查学生人数为______，图①中的值为______；
（2）求统计的这部分学生定时定点投篮个数的平均数、众数和中位数．
【答案】（1），
（2）平均数是5，众数是5，中位数是5
【解析】
【分析】本题考查了从统计图提取信息，加权平均数的定义、众数的定义、中位数的定义，
（1）根据两个统计图可选由投篮进球个数的学生人数及所占百分比即可求出本次接受调查的学生人数，进而可求解．
（2）根据条形统计图可求出学生定时定点投篮总个数，可求出平均数，再找出出现次数最多的数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，可找出处于中间的两个数，即可求解．
【小问1详解】
解：由统计图得：投篮进球3个的学生有4人，占，
本次接受调查的学生人数为：（人），
由条形统计图得投篮进球6个的学生有10人，
，
故答案：，．
【小问2详解】
解：，
统计的这部分学生定时定点投篮个数的平均数是5．
观察条形统计图，
在这组数据中，5出现了15次，出现的次数最多，
统计的这部分学生定时定点投篮个数的众数是5．
将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是5，有，
统计的这部分学生定时定点投篮个数的中位数是5．
21. 已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．
（1）如图①，若，求的大小和的长；
（2）如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识，
（1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：连接．
切于点，
，即．
是的直径，，
．
．
．
．
．
．
在中，．
【小问2详解】
解：连接．
，，
是等边三角形．
．
同（1）可得，
，
．
，
．即，
又是的直径，
．
是等边三角形，，
．
在中，．
．
22. 小刚和小强要测量建筑物的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点处，测得建筑物顶端的仰角为，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点处测得建筑物顶端的仰角为，此时两人的水平距离为，已知点，，，，在同一平面内，点，，在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点所在的高度为，根据测得的数据，计算建筑物的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
过点作，垂足为点，首先得到，，设，则，然后利用三角函数列方程求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为点．
根据题意，有，，，，
，
四边形是矩形．
，．
设，则．
在中，，，
．
在中，，，
．
．
，
．
解得．
答：建筑物的高度约为．
23. 已知小明所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小明从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小明从图书馆返回宿舍的速度为______；
③当时，请直接写出小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式．
（2）当小明在图书馆停留时，同宿舍的小亮也从宿舍出发匀速步行直接到图书馆，如果小亮的速度为，那么他在去图书馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.06，0.9，1.2；②0.08；③
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，分段函数图象，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）①根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
②由图象可知，从图书馆返回宿舍的路程为，所用时间为，然后根据速度=路程÷时间计算即可；
③根据函数图象中的数据，分别在当时和当时，y关于x的函数解析式．
（2）设小亮出发后与小明相遇，则小明返回宿舍途中遇上小亮用的时间为，根据两人共走路程为，列出方程求出t值，再根据路程=时间×速度计算即可．
【小问1详解】
解：①由图象可知：在前10分钟的速度为：，
故当时，；
的速度为：，
故当时，，
在时，距离不变，都，故当时，
故填表：
②小明从图书馆返回宿舍的速度为；
③在当时，距离不变，都是，故小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式：；
在当时，小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式为：，
∴小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式．
【小问2详解】
解：设小亮出发后与小明相遇，则小明返回宿舍途中遇上小亮用的时间为，根据题意，得
解得：
∴．
答：他在去图书馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是．
24. 在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为．
（1）如图①，求点的坐标；
（2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，根据题意可得是等腰直角三角形，可得，由此即可求解；
（2）图形结合分析，当时，过点；当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；可求出的取值范围，再根据图示，可得，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论：当，，时，分别算出最大值与最小值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作轴于点，
已知顶点的坐标为，点在第一象限，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：已知四边形是矩形，，
∴，，
∴，，
由（1）可知，，
①矩形沿轴向右平移，，
∴当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；
当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；
∴的取值范围为：，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
根据题意可知，，，，，
∴，，，，
∴，，
∴矩形与重登部分的面积为：
，
∴；
②由上述可知，，
∴当时，如图所示，当时，
∴；
如图所示，当时，
∴，
∴
；
当时，，
∴当时，的面积最大，最大面积为；
如图所示，当时，
∴，
∴
；
如图所示，当时，
∴，，
∴；
综上所述，当时，的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，几何图形面积的计算，二次函数图象的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，二次函数图象的性质是解题的关键．
25. 已知抛物线（）与轴交于，两点（点点左边），与轴交于点．
（1）若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
（2）已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
【答案】（1）①，；②，最大值是
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识，
（1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标；
②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解；
（2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解．
小问1详解】
解：①把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是
②设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
【小问2详解】
解：由抛物线解析式为，
可知其对称轴是直线，点坐标为，
故点在抛物线对称轴上．
线段绕点顺时针旋转后对应点是点，
，．
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，
则
．
．
．
，
点坐标可表示为．
把点坐标代入，得，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．小明离开宿舍的时间
1
10
30
50
小明离宿舍的距离
0.6
小明离开宿舍的时间
1
10
30
50
小明离宿舍的距离
0.06
0.6
0.9
1.2