江西省景德镇市2024届高三第三次质检数学试卷（Word附解析）

这是一份江西省景德镇市2024届高三第三次质检数学试卷（Word附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题 景德镇一中 邱金龙 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，，，则是（ ）
A.B.C.D.
2.下列有关复数，的等式中错误的是（ ）
A.B.
C.D.
3.已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A.B.C.D.
4.已知是数列的前项和，，，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则或
6.过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（ ）
A.1B.4C.D.5
7.函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（ ）
A.B.C.D.
8.六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等边边长为2，，，与交于点，则（ ）
A.B.
C.D.在方向上的投影向量为
10.正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（ ）
A.该截面是五边形
B.四面体外接球的球心在该截面上
C.该截面与底面夹角的正切值为
D.该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
11.已知、是椭圆：上两个不同的动点（不关于两坐标轴及原点对称），是左焦点，为离心率.则下列结论正确的是（ ）
A.直线的斜率为1时，在轴上的截距小于
B.周长的最大值是
C.当直线过点，且中点纵坐标的最大值为时，则
D.当时，线段的中垂线与两坐标轴所围成三角形面积的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，，，分别为三个内角，，的对边，其中，，，则______.
13.若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则______；其中项系数的最大值为______.
14.不经过第四象限的直线与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知在正三棱柱中，，.
（1）已知，分别为棱，的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（15分）近年来，景德镇市积极探索传统文化与现代生活的连接点，活化利用陶溪川等工业遗产，创新场景和内容，打造了创意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，让传统文化绽放当代生命力.为了了解游客喜欢景德镇是否与年龄有关，随机选取了来景旅游的老年人和年轻人各50人进行调查，调查结果如表所示：
（1）判断是否有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关？
（2）2024年春节期间，景德镇某旅行社推出了A、B两条旅游路线.现有甲、乙、丙共3名游客，他们都决定在A、B路线中选择其中一条路线旅游，他们之间选择哪条旅游路线相互独立.其中甲选择A路线的概率为，而乙、丙选择A路线的概率均为，且在三人中有且仅有1人选择A路线的条件下该人为甲的概率为.设表示这3位游客中选择A路线的人数，求的分布列与数学期望.
附：
17.（15分）已知是双曲线：上的一个点，且与两焦点构成的三角形的面积是.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是的右顶点，过点的直线与交于异于的不同两点、，与直线交于点.连接，并过作的平行线分别与直线、交于、两点.求证：是线段的中点.
18.（17分）已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点；
②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.
19.（17分）设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~.
（1）设，，，，求集合与；
（2）设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，；
（3）已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
景德镇市2024届高三第三次质检试题
数学（理科）参考答案
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
8.解：不妨假设六位爸爸已经站好了位置，只需要考虑小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，故不需要插队的概率.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.
11.解：对于A，设：，与椭圆联立得：
，由，
又，，即，故A正确；
或考虑当椭圆的极限情况为圆时，，故；
对于B，设右焦点为，则周长，
等号当且仅当直线过点时取到，故B正确；
对于C，设中点为，由点差法可知，即，
设，则，
，而，故，故C错误；
另解：易知轨迹是以为长轴，离心率为的椭圆，
，即该椭圆的短半轴长为，故，故C错误；
对于D，显然直线存在斜率且不为零.
设线段的中垂线所在的直线方程为，则.
设直线的方程为，联立：，
即，，
线段的中点坐标为，
代入，即.
.
又仅当、关于原点对称时，，故，
，故D正确.
另解：设线段中点坐标为，易得，
线段的中垂线方程为.
令，得，令，得.
.又，
，.
显然，，故D正确.
故选ABD.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.313.6，14.
15.解：易知必存在斜率，设：，
不经过第四象限，，
设，，，其中，
，，为方程的三个根，
构造函数，
则，易知.
我们先将视作为定值，则由，
可得.
又，.
于是的取值随着的增大而减小，
故当时取最大值，
解得.
同理.
，.
若，，成等差，则有，
整理即，解得，
，
即的最小值为.
四、解答题：本大题共5小题，满分77分.
15.（本小题13分）
解：（1）取中点，连接，.
，分别为，中点，且，
又分别为中点，且，
且，
故四边形是平行四边形，.
而平面，面，
平面.
（2）如图以为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
.
设平面的法向量为，
则，
令，得，，.
.
即直线与平面所成角的正弦值是.
16.（本小题15分）
解：（1），
有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关；
（2）根据贝叶斯公式可知三人中有且仅有1人选择路线的条件下该人为甲的概率为
，
，解得：
由题意可知，的取值为0，1，2，3.
；
；
；
.
的分布列为
的数学期望是.
17.（本小题15分）
解：（1）由题意可知，
双曲线的标准方程是.
（2）依题意直线斜率不为零，设：，，，
易得，，
将直线与进行联立并整理得：，其中，
根据韦达定理可知，.
设直线：，直线：，
两者联立，得：，
同理，
，
即线段的中点是定点.
18.（本小题17分）
解：（1）当时，，则，
令，函数在上单调递减，
，函数在上单调递增，
故当时，取极小值.
（2）①令，
换元，，
即或.
构造函数，显然单调递增，
且，
方程必定存在一负根.
对于函数，当时，
当时，
恒成立，方程无根.
当实数时，函数有且仅有一个零点.
【注：若解法中涉及到极限问题作答扣2分.】
②由上可知.
构造函数，根据对称性不妨假设，
若存在唯一正根，则.
.
，，，，
令，即.
令，构造函数，
，且显然在上单调递减，
存在正零点的必要条件是.
易证明当时，，
，
只要当时，就有，
故是存在正零点的充要条件，
而，且，，
在上单调递增，
，又，
故，即实数的取值范围是.
19.（本小题17分）
解：（1）依据定义可知，
（2）是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集.
若，不妨假设，
必有与，由自反性可知即，
再由传递性可知.
，则，而，即，
于是由传递性有，故，
.
同理可证明，.
综上所述，，总有或.
任取构成，又任取构成，
再任取构成，…，
以此类推，是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素，使得，其中；
（3），，，
故，，必存在.
由题意可知当时，有，
整理即：，
将代入得：，
即，
数列为等差数列，设其公差为.
当时，有，显然成立.
当时，，，即数列不为常数列，
则，
，
，即，
由.
而，
，
而，显然此方程无解，
，与题意矛盾，
综上所述只有.
.
，由于数列不为常数列，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故为奇数.
.
，
而为奇数，与一奇一偶，，，，三奇一偶或两奇两偶，
又，，，，不可能三奇一偶，
故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数.
.
当时，，
是自反的；
当，将，与，取值对调，
则，是对称的；
当与，即，
其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数，
，是传递的.
综上所述，是上的等价关系，
其中喜欢景德镇
不喜欢景德镇
合计
年轻人
30
20
50
老年人
15
35
50
合计
45
55
100
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
A
C
D
A
B
9
10
11
BD
ACD
ABD