2025高考物理一轮考点突破训练第5章万有引力与宇宙航行专题强化6天体运动中的三类典型问题考点3双星及多星系统问题

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►考向1 双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)。
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))。
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G)。
(多选)(2023·福建卷)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r(r≪R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(可能用到的近似值\f(1,R＋r2)≈\f(1,R2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2\f(r,R)))))( BD )
A．ω＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(GM＋m,2R3)))eq \s\up7(\f(1,2))
B．ω＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(GM＋m,R3)))eq \s\up7(\f(1,2))
C．r＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3m,3M＋m)))eq \s\up7(\f(1,3))R
D．r＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(m,3M＋m)))eq \s\up7(\f(1,3))R
[解析] 由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统，则有Geq \f(Mm,R2)＝Mω2r1，Geq \f(Mm,R2)＝mω2r2，r1＋r2＝R，联立解得ω＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(GM＋m,R3)))eq \s\up7(\f(1,2))，故A错误，B正确；由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有Geq \f(Mm′,R＋r2)＋Geq \f(mm′,r2)＝m′ω2(r＋r2)，再根据选项AB分析可知Mr1＝mr2，r1＋r2＝R，ω＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(GM＋m,R3)))eq \s\up7(\f(1,2))，联立解得r＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(m,3M＋m)))eq \s\up7(\f(1,3))R，故C错误，D正确。故选BD。
►考向2 三星模型
(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对他们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行，如图甲所示；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设这三个星体的质量均为M，且两种系统的运动周期相同，则( BD )
A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(GM,R))
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πReq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系统的线速度大小为v＝eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,R))
D．三角形三星系统中星体间的距离为L＝eq \r(3,\f(12,5))R
[解析] ①中央星受力平衡；②两种三星模型中均为两力合力提供向心力。三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行，其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力，即Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,2R2)＝Meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(5GM,4R))，故A错误；根据万有引力提供向心力有Geq \f(M2,R2)＋Geq \f(M2,2R2)＝Meq \f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq \r(\f(R,5GM))，故B正确；三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，根据万有引力提供向心力有2Geq \f(M2,L2)cs 30°＝Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2eq \f(L,2cs 30°)，由于两种系统的运动周期相同，则可得L＝eq \r(3,\f(12,5))R，故D正确；由v＝eq \f(2π,T)·eq \f(L,2cs 30°)，联立解得v＝eq \r(3,\f(12,5))×eq \f(1,2)eq \r(\f(5GM,3R))，故C错误。
解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
►考向3 四星模型
(多选)(2022·安徽月考)如图为一种由四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是( BD )
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均变为原来的两倍，则星体匀速圆周运动的加速度大小变为原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均变为原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变
[解析] 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\r(2)))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\r(2)))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均变为原来的两倍，则星体匀速圆周运动的加速度大小变为原来的eq \f(1,2)，故C错误；由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\r(2)))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体匀速圆周运动的线速度大小v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均变为原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。分类
直线模型
等边三角形模型
模型图例
转动半径
图甲中r＝eq \f(L,2)，图乙中r＝eq \f(L,2cs 30°)
受力特点
各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力
运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
解题规律
图甲中eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,2r2)＝man，
图乙中eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝man
分类
正方形模型
等边三角形模型
模型图例
转动半径
图甲中r＝eq \f(\r(2),2)L，图乙中r＝eq \f(L,2cs 30°)
受力特点
各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力(M星除外)
运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等(M星除外)
解题规律
图甲中eq \f(Gm2,L2)×2cs 45°＋eq \f(Gm2,\r(2)L2)＝man，图乙中eq \f(Gm2,L2)×2cs 30°＋eq \f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)L))2)＝man