河北省衡水市武强中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省衡水市武强中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 已知，则， 在中，若，，的面积为，则等内容，欢迎下载使用。

出题人：刘宽新
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（ ）
A B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，是的中点，若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 在中，若，，的面积为，则（ ）
A. 13B. C. 2D.
5. 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
A. B. 1C. D.
7. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则
A. 90B. 60C. 45D. 30
8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 对应的点在复平面的第二象限B. C. 的实部为D. 的虚部为
10. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A.
B
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影向量为
11. 在中，下列命题正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则定为等腰三角形
C. 若，则定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
13. 水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______．
14. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）求向量与的夹角；
（2）当向量与垂直时，求实数值.
16. 复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
17. 的内角所对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求面积．
18. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）
（1）求实数及；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
19. 在 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．武强中学2023—2024学年度下学期期中测试
高一数学试题
出题人：刘宽新
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．
考点：截面及其作法
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C
3. 如图，在中，是的中点，若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.
【详解】因为是的中点，，，
所以，
所以.
故选：D.
4. 在中，若，，的面积为，则（ ）
A. 13B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用面积公式求出c，再用余弦定理求出a.
【详解】在中， ，，的面积为，
所以,解得：c=4.
由余弦定理得：
所以.
故选：B.
5. 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.
【详解】记向量与向量的夹角为，
在上的投影为.
在上的投影为，
，
，
.
故选：B.
6. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，
所以原图形的面积为：1×22．
故选A．
点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．
7. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则
A. 90B. 60C. 45D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值．
【详解】由正弦定理及得
,因为，所以；
由余弦定理、三角形面积公式及，得,
整理得，又,所以,故.
故选D
【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
8. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，为z共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 对应的点在复平面的第二象限B. C. 的实部为D. 的虚部为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念求出，然后结合复数的除法运算求出，根据复数的概念以及几何意义和模长公式逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
所以，
对应点为在第三象限，
，实部为，虚部为，
选项B，C正确，选项A，D错误．
故选：BC．
10. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.
【详解】，A正确.
，所以且反向，所以B正确，C错误.
在方向上的投影向量为，D错误.
故选：AB
11. 在中，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则定为等腰三角形
C. 若，则定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ACD
【解析】
【分析】
选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.
【详解】在中，若，则，因此，A正确；
若，则或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；
若，
则，
所以，即，，
所以定为直角三角形，C正确；
三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，
则，因为，
所以，D正确.
故选:ACD.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理，得，结合可得，则.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
13. 水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,
所以，
所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
14. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

【答案】
【解析】
【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）求向量与的夹角；
（2）当向量与垂直时，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答；
（2）利用垂直的向量表示及数量积的运算律求解作答.
【小问1详解】
因，，，则有，
解得，因此，而，于是得，
所以向量与的夹角.
【小问2详解】
因向量与垂直，由（1）知，
则，解得，
所以实数的值为.
16. 复数，其中为虚数单位．
（1）求及；
（2）若，求实数，的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；
（2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的值.
【小问1详解】
∵，
∴．
【小问2详解】
由（1）可知，
由，得：，
即，∴，解得
17. 的内角所对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．
【详解】（1）因为，根据正弦定理得，
又，从而，
由于，所以．
（2）根据余弦定理，而，，，
代入整理得，解得或（舍去）．
故的面积为．
【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）
（1）求实数及；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模；
（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
∵，∴，
，
为纯虚数，
，解得，
故，则
【小问2详解】
，
，
复数所对应的点在第二象限，
，解得，
故实数取值范围为.
19. 在 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．
【答案】（1）不能同时成立，理由见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形内角和可得结论；
（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c，再求得，即可求得三角形面积.
【小问1详解】
由条件③，可得．
解得或（因为,舍去），
因为，所以；
由条件④，可得，
因为，且，
而在上单调递减，所以．
若条件③④能同时成立，
则与矛盾，
所以③④两个条件不能同时成立．
【小问2详解】
因为 同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．
若选择①②③：由（1）知，由，
可得，
因为，所以，所以△ABC为直角三角形，
所以，所以的面积．
若选择①②④：由（1）知，
由，得，
即，解得（负值舍去）．
因为，所以，
所以的面积．