浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。

考试总分：150分 ；考试时间：120分钟；
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数（为虚数单位），则的模等于（ ）
A. B. 5C. D. 10
2. 已知中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A 若，，那么B. 若，，那么
C. 若，，那么D. 若，，那么
5. 在中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（ ）
A. 6B. 7C. D.
6. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. 2
C. 3D. 2
7. 如图,四棱锥的底面是平行四边形,、分别为 线段、上一点，若,且平面，则

A. B.
C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
11. 如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点M，N，都有MN与AD异面
B. 存点M，N，使得MN与BC垂直
C. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
D. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，则的最大内角等于_______
13. 如图，在平面五边形中， ，，则五边形绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为_____
14. 在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长最小值为____．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 设为虚数单位，，复数．且在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上．
（1）求实数的值；
（2）若是纯虚数，求实数的值．
16. 棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积
17. 在中，角对边分别为，且向量，向量．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
18. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）若平面平面，平面平面，试分析l与m位置关系，并证明你的结论．
19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．曙光学校2023－2024学年第二学期第一次阶段性考试
高一年级数学试题卷
考试总分：150分 ；考试时间：120分钟；
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级､考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数（为虚数单位），则的模等于（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先计算，再根据模长公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C
2. 已知中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三边的比令，，，，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求．
【详解】解：依题意令，，，，
，所以为直角三角形且，
又，且，
，
，
故选：A．
3. 已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，由圆锥侧面积公式和轴截面面积，列出方程，即可求得结果.
【详解】不妨设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
根据题意，则，所以，
解得.
故选：A.
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解，涉及其几何特点，属基础题.
4. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A 若，，那么B. 若，，那么
C. 若，，那么D. 若，，那么
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.
【详解】当，时，可以相交，故选项A不正确；
当，时，，可以是异面直线，因此选项B不正确；
当，时，存在这一情况，所以选项C不正确；
根据面面平行的性质可知选项D正确，
故选：D
5. 在中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（ ）
A. 6B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理计算可得；
【详解】解：由余弦定理，即，
所以；
故选：B
6. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. 2
C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】在中，求得；在中，利用正弦定理求得；再在中，利用余弦定理即可求得结果.
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝9，
则AB＝3．
故选：.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.
7. 如图,四棱锥的底面是平行四边形,、分别为 线段、上一点，若,且平面，则

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，可证明,从而可得平面平面，进而证出，从而可知,即可求解.
【详解】取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，

因为，PC的中点E
所以,又O是的中点，
所以， 又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以 平面平面，
因为平面PBC交平面，平面，且交线分别是，
所以，
所以
故选D.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题.
8. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接、、，推导出四边形为平行四边形，可得出，可得出异面直线与所成的角为，通过解，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角的余弦值.
【详解】取的中点，连接、、.
易知是的中位线，所以且.
又且，为的中点，所以且，所以且.
所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.
因为，，，、、分别是、、的中点，
所以，且.
由勾股定理得，所以.
由勾股定理得，.
在中，由余弦定理得.
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据模的计算公式和复数的乘法可判断ACD的正误，取特例根据复数的乘法计算后可判断B的正误.
【详解】因为，故，故，
而，故ACD正确.
取，故，则，故B错误.
故选：ACD.
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
11. 如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意点M，N，都有MN与AD异面
B. 存在点M，N，使得MN与BC垂直
C. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
D. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，首先不可能与AD相交，其次证明AD与MN不可能平行，故A正确；
B选项，证明出BC⊥平面ADF，因为直线AB与CD分别与平面ADF的交点为A，D，但M，N与A，D不会重合，故B错误；
C选项，作出辅助线，得到存在，使得，由空间向量性质可知C正确；
D选项，作出辅助线，对于任意点M，找到点N，得到MN与AD，BC所成的角，利用相似和余弦定理得到MN与AD，BC所成的角相等.
【详解】A选项，M，N分别是线段AB，CD（不含端点）上的动点，故不可能与AD相交，过点M作ME∥AD交BD于点E，MN与ME相交，故AD与MN不可能平行，综上：对任意点M，N，都有MN与AD异面，A正确；
B选项，取BC中点F，连接AF，DF，
因为四面体ABCD为正四面体，
所以AF⊥BC，DF⊥BC，
因为，所以BC⊥平面ADF，
因为直线AB与CD分别与平面ADF的交点为A，D，但M，N与A，D不会重合，
故BC不可能与MN垂直，B错误；
C选项，对于任意点M，作ME∥AD交BD于点E，过点E作EN∥BC交CD于点N，连接MN，此时，故存在，使得，
所以对任意点M，存在点N，使得与，共面，C正确；
D选项，对任意点M，在CD上取点N，使得CN=AM，则，
过点M作ME∥AD交BD于点E，过点N作NF∥BC交BD于点F，则为MN与AD形成角，∠MNF为MN与BC形成的角，且FN=EM，DE=BF，
由BM=DN，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF得：△BMF≌△DNE，所以MF=EN，
由余弦定理得：，，
由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF，
对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等，D正确.
故选：ACD
【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，，则的最大内角等于_______
【答案】105°
【解析】
【分析】根据正弦定理可得，即可根据三角形内角和求解.
【详解】由正弦定理可得,
由于所以，
故,故
故答案为：105°
13. 如图，在平面五边形中， ，，则五边形绕直线AB旋转一周所成几何体的体积为_____
【答案】##
【解析】
【分析】确定旋转的几何体的构成，再利用柱体体积和锥体体积公式计算即得.
【详解】依题意，五边形可看作边长为2的正方形切去一个腰长为1的等腰，
将五边形绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，
所求几何体的体积.
故答案为：
14. 在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】作于点，作于点，利用线段之间的比例关系表示出相关线段的长，在直角梯形中列式求解，即可求得答案.
【详解】作于点，作于点，
则，即共面；
平面,平面,故平面,
∵线段平行于对角面，,平面,
故平面平面,
又平面平面，
平面平面，，
由于，故为等腰直角三角形，
由于，，则，；
故设，则，
在直角梯形中，，
故，
∴当时，取最小值，则的最小值为，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 设为虚数单位，，复数．且在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上．
（1）求实数的值；
（2）若是纯虚数，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的几何意义可得对应的点为，即可根据求解，
（2）根据复数的除法运算化简为，即可根据纯虚数的定义求解.
【小问1详解】
在复平面内对应的点为，由于在第一象限的角平分线上，所以
【小问2详解】
由（1）知，，
由于为纯虚数，所以，故，
16. 棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，求三棱锥的体积
【答案】1
【解析】
【分析】根据等体积法，即可根据锥体体积公式求解.
【详解】如图，由正方体棱长为2及分别为棱的中点，得，
又易知为三棱锥高，且，
∴
17. 在中，角的对边分别为，且向量，向量．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解.
【小问1详解】
∵，
∴，
化简得，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
由余弦定理得．
∵∴，
当且仅当时等号成立．
∴，
∴，
当且仅当时等号成立．
∴,
又∵，∴．
∴周长的取值范围为．
18. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2），利用（1）的结论，结合线面平行的性质、平行公理推理作答.
【小问1详解】
令，连，如图，
四边形ABCD是正方形，即O是AC中点，而M是矩形ACEF边EF的中点，
则有，且，于是得四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
，
由（1）知，平面，又平面，平面平面，因此，，
平面，又平面，平面平面，因此，，
所以.
19. 在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】（1）60°；
（2）﹒
【解析】
【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出csB及B；
(2)根据B=60°和三角形是锐角三角形可求A=120°-C且，利用正弦定理用sinA和sinC表示出a边，利用三角函数值域求出a的范围，根据即可求三角形面积的范围．
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，∵，∴；
【小问2详解】
∵B=60°，∴，即A=120°-C，又∵，
∴由正弦定理得，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，
从而，∴．