广东省佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1. 值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（ ）
A. 同位角、同旁内角、内错角B. 同位角、内错角、同旁内角
C. 同位角、对顶角、同旁内角D. 同位角、内错角、对顶角
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.1×10﹣7B. 1×10﹣8C. 1×10﹣7D. 0.1×10﹣8
6. 如图，要把河中水引到水池A中，应在河岸B处（）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 两条直线的距离
C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
7. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，能判定的条件是（ ）
A. B.
C. D.
9. 通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′DEB′BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（ ）
A. 2α+β＝180°B. 2β﹣α＝180°C. α+β＝150°D. β﹣α＝60°
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 计算：_____．
12. 如图，将一把含角的三角尺按如图所示的位置摆放，一直角边与重合，当直线时， _____．
13. 已知，那么代数式的值是______．
14. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为_____．
15. 如图，和中，，，，点D在边上，将 图中绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_____秒时，边恰好与边AB平行．
三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 计算：．
17. 按要求完成下列证明：
已知：如图，在中，于点D，E是上一点，且．试说明：．

解：（已知），
________（已知）
（已知），
________（________）．
（________）．
18. 在计算时，甲错把b看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：．求值．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，已知，
（1）请以点B为顶点，射线为一边，在边的下方利用尺规作，使得（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出直线与直线的位置关系．
三、解答题（二）（本大题共3小题，21，22每题8分，23题10分，共26分）
21. 某小区有一块长为，宽为的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的十字形花圃，在花圃内种花，其余部分种草（阴影部分）．
（1）求花圃的面积；
（2）若建造花圃及种花的费用为每平方米80元， 种草的费用为每平方米60元，则美化这块空地共需要多少元？
22. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，．

（1）求证：；
（2）若于点H，平分，求的度数．
23. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： ， ，．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，
小明给出了如下的证明：
设，则，即
所以，即，
所以．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明．
四、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）
24. （1）从图1～3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系是 ；
（2）尝试解决：
①已知：，，则 ；
②已知：，，求的值；
③已知：，求的值；
（3）填数游戏：如图4，把数字1～9填入构成三角形状9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17， 将每边四个数字的平方和分别记、、，已知．如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的 数字分别表示为、、，则的值为： ．（直接写出答案）
25. 如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，．
（1）请说明的理由．
（2）将线段沿着直线平移得到线段，连接．
①如图 2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，求的度数．
③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案）