吉林省长春市榆树市第二实验中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的分母不等于0时分式有意义，得，即可求得结果.
【详解】∵分式有意义
∴
得
故选D
【点睛】此题考查分式的意义，熟记定义才能正确判断.
2. 1张新版百元的人民币厚约为米，数据“米”用科学记数法可表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
【详解】解：∵，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第二象限．
故选：B．
4. 若函数的函数值为0，则自变量的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，求函数自变量的值掌握分式方程的解法是解题的关键．根据函数的函数值为0，得出，解方程即可．
【详解】解：由题意得，
∴
解得：，
检验：当时，，
∴自变量的值为，
故选：C．
5. 将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的一半C. 保持不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是将扩大后字母代入化简与原来进行比较．将x、y分别以、代入化简即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
，
∴将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变，
故选：C．
6. 若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
【详解】解：，
∵运算的结果为整式，
∴中式子一定有的单项式，
∴只有D项符合，
故选：D．
7. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B. 温度越低，声速越慢
C. 当温度每升高时，声速增加
D. 当空气温度为时，声音可以传播
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义判断A即可；通过观察数据即可得出结论BC；根据C计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度函数，
∴A正确，不符合题意；
从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，
∴B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高时，声速增加，
∴C正确，不符合题意；
由C可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
8. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树60棵，实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设实际每天植树x棵，则原计划每天植树棵，根据等量关系“实际植树500棵所需时间与原计划植树400棵所需时间相同”即可列出分式方程．
【详解】解：设实际每天植树x棵，则原计划每天植树棵，
根据题意，可列方程：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题列分式方程，审清题意、正确找出相等关系是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先计算整数指数幂的运算，然后进行有理数的加法运算，由此得到答案．
【详解】解：
，
故答案：．
10. 若分式的值为零，则x的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算．
11. 若关于的方程有增根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出m的值及增根即可．
【详解】解：
去分母得：，
∴，
由分式方程有增根，得到，即，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴点到原点的距离是：=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键．
13. 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，小明爸爸一次加这种型号的汽油40升，需要付加油站______元．
【答案】299.6
【解析】
【分析】本题考查的是函数的图像，熟练掌握函数的图像是解题的关键.根据图象知道100升油花费了522元，由此即可求出这种汽油的单价．
【详解】解：设函数关系式为
把代入得：
∴函数关系式为
当时，
故答案为：299.6．
14. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
【答案】-9
【解析】
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．
【详解】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣9．
故答案为－9．
【点睛】本题考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，算术平方根的概念进行计算即可求解，掌握零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，算术平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可．
【详解】
经检验是分式方程的解,
∴原分式方程的解为．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按如图所示建立平面直角坐标系．请回答下列问题：

（1）将先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，在图中画出．
（2）若在平面直角坐标系中存在点，使与全等，直接写出所有点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）点的坐标是或．
【解析】
【分析】本题考查了作图-平移变换，全等三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用网格特点和平移的规律画出点的对应点即可；
（2）根据网格特点，取格点，则，，得到，，即可求解．
【小问1详解】
解：由图知，点三点的坐标是：，
向下平移3个单位长度得到：，
再向左平移2个单位长度，则点的坐标为：，如图：

则就是所求的三角形．
【小问2详解】
解：如图：取格点，

由网格可知，，，
又∵是公共边，
∴，，，
∴点的坐标是：或．
19. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓．小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
（2）填空：
①阅览室到超市的距离为______；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为______；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为______．
【答案】（1）；
（2）①，②，③或．
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
（1）观察函数图象即可得出答案；
（2）根据阅览室离学生公寓，超市离学生公寓可得答案；
用路程除以时间可得速度；
分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间．
【小问1详解】
解：（1）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行到达离学生公寓的阅览室，
∴离开学生公寓时间为，离学生公寓的距离是：
，
由图象可知：离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：阅览室到超市的距离为：
，
故答案为：；
小琪从超市返回学生公寓的速度为：
，
故答案为：；
小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：
，
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：
，
故答案为：或．
20. 先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
【答案】；1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，
原式．
21. 将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm.
(1)根据题意，将下面的表格补充完整.
（2）直接写出y与x的关系式.
(3）要使粘合后的长方形总面积为1656cm2，则需用多少张这样的白纸?
【答案】（1）图形见解析（2）y=17x+3（3）12
【解析】
【分析】(1)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(2)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(3)根据面积和宽得到纸条的长，再由自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】(1) 当x=2时，y=20+17=2×17+3=37，
当x=5时，y=5×17+3=88，
故答案为37，88；
根据题意，完成表格如下：
(2)由题意知y与x的关系式为y=17x+3，
故答案为y=17x+3．
(3)1656÷8=207(cm)
当y=207时，17x+3=207，
解得：x=12，
所以，需要12张这样的白纸．
【点睛】此题考查函数关系式，解题关键在于看懂图中数据
22. 【阅读理解】题目：已知，求的值．
【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：
【类比运用】已知，求的值．
【拓展】（1）若，则的值为______．
（2）若，则的值为______．
【答案】类比应用：7；拓展：（1）；（2）12
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
类比应用：把两边平方，利用完全平方公式化简后求出的值即可；
拓展：（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后求出的值即可；
（2）根据，得出，根据，代入数据求出结果即可．
【详解】解：类比应用：∵，
又∵，
∴
；
拓展：（1）∵，
又∵，
∴
；
（2），
，
化简，得，
即，
则
．
23. 教育部印发的《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【解析】
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆列出方程，解出方程即可；
（2）购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，所花的费用不超过2400元列出不等式求解．
小问1详解】
解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得，
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
【小问2详解】
解：设购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，
，
解得：，
∴本次所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【点睛】本题考查分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
24. 如图，在长方形中，为边中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动到终点，连结．设的面积为，点运动时间为．
（1）点到边的距离为______．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当时，求与函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（4）当是等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）当是等腰三角形时，直接写出的值为或或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，长方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用长方形的性质即可求解；
（2）分两种情况：和时，即可求解；
（3）分三种情况讨论，①在上运动时， 的取值范围是，②点在上运动时，且点与点相遇前，的取值为，③点在上运动时，且点与点相遇后，的取值为，即可求解；
（4）当，，，时，是等腰三角形，即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵四边形是长方形，点在上，，
∴点到边的距离，
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，
∴秒到达点，
∴当时，，
∵，
∴点到达终点时间为：，
∴当时，，
∴．
【小问3详解】
解：由于，则分情况讨论：
①在上运动时，，点的速度为每秒1个单位，
∴的取值范围是，如图：
∵点是的中点，
∴，
当时，则，，，，
∴
，
点在上运动时，，，
当点与点在上相遇时，，
解得：，
②点在上运动时，且点与点相遇前，的取值为，
过点作交于点，如图：
∴，
∴，
③点在上运动时，且点与点相遇后，的取值为，
过点作交于点，如图：
∴，
∴，
综上：．
【小问4详解】
解：当时，过点作交于点，如图：
则，，，
由题易得四边形为长方形，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴是等腰三角形，
∴
，
当时，点与点重合，如图：
，
∴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
当时，点与点重合，
当时，点与点重合，如图：
同理时，，
当时，不是等腰三角形，
当时，点与点重合，点与点重合，如图：
同理时，易得是等腰三角形，，
∴，
综上，当是等腰三角形时，直接写出的值为或或．
温度（℃）
0
10
20
30
声速（m/s）
318
324
330
336
342
348
离开学生公寓的时间单位
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离单位
白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
54
71
…
白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
37
54
71
88
…
方法一
方法二
，
，
，
，
，
，
．
．