陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校2023-2024学年高三阶段性测试（八）理科数学试题（原卷版+解析版）

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理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天最高气温（单位：），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 14
4. 已知非零向量满足，若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（ ）
A. 42种B. 210种C. 300种D. 480种
8. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A. 1B. C. D.
10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. B. C. D.
11. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12. 一种锥底孵化桶常用于鱼虾类孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设等差数列的前项和为，则__________.
14. 设实数满足约束条件，则的最小值为___________.
15. 已知直线与均与相切，点在上，则的方程为___________.
16. 设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为___________.（填写所有符合题意的条件的序号）
①；
②或；
③；
④.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式.
（2）求数列的前项和.
18. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男､女生各100人，发现选择《红楼梦》的有90人，其中女生占.
（1）补充完整下述列联表，并判断能否有的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关；
（2）已知学生选择哪本书是相互独立，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
19. 如图，在圆台中，为轴截面，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点.
（1）求证：平面平面；
（2）若为等边三角形，求平面和平面的交线与平面所成角的正弦值.
20. 已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
（1）判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
（2）若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
21. 已知函数.
（1）求曲线与的公切线的条数；
（2）若，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆的两个交点分别为，求的最大值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若最小值为2，证明：.时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
男生
女生
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828