2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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【知识导图】
【考点分析】
考点一：双变量同构问题
规律方法 含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．
【例1】已知函数f(x)=lnx+ax2−3x.
(1)若函数f(x)的图像在点1,f1处的切线方程为，求函数f(x)的极小值；
(2)若a=1，对于任意x1,x2∈[1,5]，当x1mx2−x1x1⋅x2恒成立，求实数m的取值范围．
【变式1】设函数fx=x2−x+alnxa>0．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若fx存在两个极值点x1，x2，证明：fx1−fx2x1−x2>4a−12．
【变式2】已知函数fx=exln1+x．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)设gx=f'x，讨论函数gx在[0,+∞)上的单调性；
(3)证明：对任意的s,t∈0,+∞，有fs+t>fs+ft．
考点二：指对同构问题
规律方法 指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln b))(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：eq \f(ea,a)≤eq \f(b,ln b)，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：eq \f(ea,a)≤eq \f(eln b,ln b)，构造函数f(x)＝eq \f(ex,x)；
②同右构造形式：eq \f(ea,ln ea)≤eq \f(b,ln b)，构造函数f(x)＝eq \f(x,ln x)；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
考向1：指对同构与恒成立问题
【例2】若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exln x＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________.
【变式1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【变式2】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．
考向2 指对同构与证明不等式
【例3】 已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2ln x(a∈R).当x＞y＞e－1时，求证：exln(y＋1)＞eyln(x＋1).
【变式】. 已知函数f(x)＝x－ln x，
(1)求函数f(x)的单调性；
(2)当x＞eq \f(1,e)，证明：eq \f(ex＋ln x＋1,x)≥e＋1；
(3)若不等式x＋aln x＋eq \f(1,ex)≥xa对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的最小值.
【强化训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
4．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
5．(2023·南宁模拟)已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cs α－cs β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知x∈N，y∈N，x2b B．ab2 D．aea
C．ab0，函数f(x)＝xex－ax.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)≥ln x－x＋1恒成立，求实数a的取值范围．
19．(2023·邵阳模拟)已知函数f(x)＝ex＋1－eq \f(a,x)＋1，g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2.
(1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
20．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－1ln x，g(x)＝x2－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)．
21．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
22．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
24．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
26．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
27．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
28．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
29．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
30．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．