专题06 五大类导数题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生及教师版）

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【题型1 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】
【题型2 利用导函数研究恒成立能成立问题】
【题型3 利用导函数研究函数零点问题】
【题型4 利用导函数研究函数切线问题】
【题型5 利用导函数研究函数的极值点偏移问题】
题型1 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）
含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①令，确定其零点，并在轴上标出
②观察的单调性，
③根据①②画出草图
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点
②观察的开口方向，
③根据①②画出草图
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对，求
②分类讨论
③对于，利用求根公式求的两根，
④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出草图
已知函数，.讨论函数的单调区间.
已知(为常数)，求函数的单调区间.
已知函数.求函数的单调区间；
1．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性．
3．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在，且，使得，求证：.
4．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，
5．已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数.
6．已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
7．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围；
(3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．
8．已知函数
(1)讨论 的单调性.
(2)证明:当时,
(3)证明:
题型2 利用导函数研究恒成立能成立问题
①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.
由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.
②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.
由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
③设为可导函数，则有,若为非常数函数，求导式子中还是含有,针对此类型，可以采用作商的方法，构造从而达到简化证明和求极值、最值的目的，腻在一起，常常会分手.
已知函数，当时，，则的取值范围是 .
若不等式对所有都成立，则实数的取值范围是 ．
已知函数
(1)若，判断函数有几个零点，并说明理由:
1．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求实数a的取值范围．
2．设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若为正数，且存在，使得求的取值范围.
3．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
4．已知，函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一的极值点；
(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.
5．已知函数．
(1)若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围；
(2)若，当时，，求的取值范围．
6．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意有解，求的取值范围.
7．已知函数.
(1)当时，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.
8．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
题型3 利用导函数研究函数零点问题
Ⅰ：找点能够解决以下几类问题：
问题1：结合零点存在定理讨论或证明函数在目标区间的零点情况（常考题型）
问题2：以零点个数为限制条件求解参数范围问题
到底如何找点呢？
方法1：分类讨论、放缩取点（放缩前面已讲述，这里简单阐述一下）
技巧如下：
第一步：猜猜根及猜零点所在区间
第二步：能猜出根则需验证，猜不出则放缩取点
注意：①常见猜根为
②猜零点所在区间往往利用单调性求最值
③若最值不易表示出，则对函数进行放缩，使得函数形式简单
步骤如下：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用
方法二：参变分离，由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
已知函数有两个零点，的取值范围是_____；
函数有两个零点，则的取值范围是___________.
已知函数．
若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围
1．已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
2．已知a为常数，函数.
(1)当时，求的图象在处切线方程；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若函数有两个极值点，（），求证.
3．已知是自然对数的底数，常数，函数.
(1)求、的单调区间；
(2)讨论直线与曲线的公共点的个数；
(3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.
4．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若，求函数的零点个数．
5．设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
6．已知函数.
(1)判断的零点个数并说明理由；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
7．已知函数
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.
8．已知函数．
(1)当时，判断的零点个数并说明理由；
(2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．
题型4 利用导函数研究函数切线问题
与切线有关的题目是导数部分的重要题型，本题型规律性较强，一般都要用到导数的几何意义，不知切点坐标时要设出坐标，切点既在切线上也在曲线上。现结合实例归纳总结如下：
在点处的切线方程计算策略
第一步：明确点和斜率
第二步：利用点斜式写出方程
过点的切线方程计算策略
第一步：设切点为，
第二步：明确点和斜率
第三步：利用点斜式写出方程
注意：有几个值，就有几条切线
③记一些常考的切线斜率
1、过原点的切线斜率为
2、过原点的切线斜率为
3、过原点的切线斜率为
4、过原点的切线斜率为
5、过的切线斜率为
6、过的切线斜率为
7、过的切线斜率为
8、过的切线斜率为
若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
已知曲线的切线过坐标原点，则此切线的斜率为（ ）
设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
1．已知函数，．
(1)当时，求曲线与的公切线的方程；
(2)若有两个极值点和，且，求实数的取值范围．
2．已知，函数的导函数为．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)求函数的极值点；
(3)函数的图象上是否存在一个定点，使得对于定义域内的任意实数，都有成立？证明你的结论．
3．已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
4．已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
5．已知函数，且．
(1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数的单调性．
6．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
7．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
8．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
题型5 利用导函数研究函数的极值点偏移问题
极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.
函数有两极值点，且.
证明：.
已知函数 .
(1) 当 时，求证：对于任意，都有成立；
(2) 若函数 恰好在和 两处取得极值，求证：.
过点作曲线的切线．
（1）求切线的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点，求证：．
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
2．已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，，请比较，，2这三个数的大小，并说明理由.
3．设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
4．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
5．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
6．已知函数，．
(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；
(2)若且，，证明：．
7．设，为函数（）的两个零点．
(1)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：．
8．已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.